User Tools

Site Tools


t-i-s-n-li-n-k-t-wikipedia

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

t-i-s-n-li-n-k-t-wikipedia [2018/11/17 09:54] (current)
Line 1: Line 1:
 +<​HTML>​ <​br><​div>​
 +<div role="​note"​ class="​hatnote navigation-not-searchable">​ Chuyển hướng &​quot;​Liên kết&​quot;​ và &​quot;​không liên kết&​quot;​ tại đây. Đối với việc học liên kết và không liên kết, xem Học § Loại. </​div>​
 +<p> Trong toán học, thuộc tính kết hợp <b> </​b><​sup id="​cite_ref-1"​ class="​reference">​[1]</​sup> ​ là thuộc tính của một số phép toán nhị phân. Trong logic mệnh đề, <b> sự kết hợp </b> là một quy tắc thay thế hợp lệ cho các biểu thức trong các chứng minh logic.
 +</​p><​p>​ Trong một biểu thức có chứa hai hoặc nhiều lần xuất hiện trong một hàng của cùng một toán tử kết hợp, thứ tự các hoạt động được thực hiện không quan trọng miễn là chuỗi các toán hạng không bị thay đổi. Tức là, sắp xếp lại các dấu ngoặc đơn trong một biểu thức như vậy sẽ không thay đổi giá trị của nó. Xem xét các phương trình sau:
 +</p>
 +<​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (2+3)+4=2+(3+4)=9,​}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 2 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mn>​ 3 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ + </​mo><​mn>​ 4 </​mn><​mo>​ = </​mo><​mn>​ 2 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 3 [19659007] + </​mo><​mn>​ 4 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ = </​mo><​mn>​ 9 </​mn><​mspace width="​thinmathspace"/></​mstyle></​mrow>​ { displaystyle (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 ,} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​b33314f4fc13b0ee84b3386ca9d0755137b026ae"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​29.701ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" (2+ 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 , "/></​span></​dd></​dl><​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle 2times (3times 4)=(2times 3)times 4=24.}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mn>​ 2 </​mn><​mo>​ × <!-- × --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 3 </​mn><​mo>​ × <!-- × --> </​mo><​mn>​ 4 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ = </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 2 </​mn><​mo>​ × <!-- × --> </​mo><​mn>​ 3 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ × <!-- × --> </​mo><​mn>​ 4 </​mn><​mo>​ = </​mo><​mn>​ 24. </​mn></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle 2  lần (3  lần 4) = (2  lần 3)  lần 4 = 24.} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​4322e3534b2318b8f51a29363c45fed9754c3019"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​31.124ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" 2  lần (3  lần 4) = (2  lần 3)  lần 4 = 24 "/></​span></​dd></​dl><​p>​ Mặc dù các dấu ngoặc đơn đã được sắp xếp lại trên mỗi dòng, các giá trị của các biểu thức không bị thay đổi. Vì điều này đúng khi thực hiện phép cộng và phép nhân trên bất kỳ số thực <a href="​http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Real_number"​ title="​Real number">​ nào, có thể nói rằng &​quot;​việc cộng và nhân số thực là các phép toán liên kết&​quot;​.
 +</​p><​p>​ Khả năng kết hợp không giống như tính tương giao, cho biết thứ tự của hai toán hạng có thay đổi kết quả hay không. Ví dụ: thứ tự không quan trọng trong phép nhân số thực, nghĩa là <span class="​nowrap"><​i>​ </i> × <i> b </i> = <i> b </i> × <i> a </​i></​span>​vì vậy chúng tôi nói rằng phép nhân của các số thực là một phép toán giao hoán.
 +</​p><​p>​ Hoạt động liên kết có nhiều trong toán học; trên thực tế, nhiều cấu trúc đại số (như semigroups và categories) rõ ràng yêu cầu các hoạt động nhị phân của chúng phải được kết hợp.
 +</​p><​p>​ Tuy nhiên, nhiều hoạt động quan trọng và thú vị là không liên kết; một số ví dụ bao gồm phép trừ, lũy thừa và sản phẩm vectơ chéo. Ngược lại với các tính chất lý thuyết của các số thực, việc bổ sung các số dấu chấm động trong khoa học máy tính không phải là kết hợp và việc lựa chọn cách liên kết biểu thức có thể có ảnh hưởng đáng kể đến lỗi làm tròn.
 +</p>
  
 +
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Definition">​ Định nghĩa </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<div class="​thumb tright"><​div class="​thumbinner"​ style="​width:​222px;"><​img alt=""​ src="​http://​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​8/​80/​Semigroup_associative.svg/​220px-Semigroup_associative.svg.png"​ width="​220"​ height="​110"​ class="​thumbimage"​ srcset="//​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​8/​80/​Semigroup_associative.svg/​330px-Semigroup_associative.svg.png 1.5x, //​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​8/​80/​Semigroup_associative.svg/​440px-Semigroup_associative.svg.png 2x" data-file-width="​250"​ data-file-height="​125"/> ​ <div class="​thumbcaption">​ Một phép toán nhị phân ∗ trên tập hợp <i> S </i> là kết hợp khi biểu đồ này bắt đầu. Đó là, khi hai con đường từ <i> S </i> × <i> S </i> × <i> S </i> tới <i> S </i> soạn thư cho cùng một hàm từ <i> S </i> × <i> S </i> × <i> S </i> đến <i> S </i>. </​div>​ </​div>​ </​div>​
 +<p> Chính thức, một phép toán nhị phân ∗ trên một tập hợp <i> S </i> được gọi là <b> liên kết </b> nếu nó đáp ứng <b> luật liên kết </b>:
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ (<i> x </i> ∗ <i> y </i>) ∗ <i> z </i> = <i> x </i> ∗ (<i> y </i> ∗ <i> z </i>) cho tất cả <i> x </​i><​i>​ y </​i><​i>​ z </​i><​i>​ z </i> trong <i> S </i>. </​dd></​dl><​p>​ Tại đây, ∗ được sử dụng để thay thế biểu tượng của các hoạt động, có thể là bất kỳ biểu tượng, và thậm chí sự vắng mặt của biểu tượng (juxtaposition) như cho phép nhân.
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ (<i> xy </i>) <i> z </i> = <i> x </i> (<i> yz </i>) = <i> xyz </i> cho tất cả <i> x </​i><​i>​ y </​i><​i>​ z </i> trong <i> S </i>. </​dd></​dl><​p>​ Luật liên kết cũng có thể được thể hiện bằng ký pháp chức năng như sau: <span class="​nowrap"><​i>​ f </i> (<i> f </i> (<i> x </​i><​i>​ y </​i>​),​ <i> z </i>) = <i> f </i> (<i> x </i> , <i> f </i> (<i> y </​i><​i>​ z </​i>​)) </​span>​.
 +</p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Generalized_associative_law">​ Luật liên kết tổng quát </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<div class="​thumb tright"><​div class="​thumbinner"​ style="​width:​252px;"><​img alt=""​ src="​http://​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​4/​46/​Tamari_lattice.svg/​250px-Tamari_lattice.svg.png"​ width="​250"​ height="​348"​ class="​thumbimage"​ srcset="//​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​4/​46/​Tamari_lattice.svg/​375px-Tamari_lattice.svg.png 1.5x, //​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​4/​46/​Tamari_lattice.svg/​500px-Tamari_lattice.svg.png 2x" data-file-width="​504"​ data-file-height="​702"/> ​ <div class="​thumbcaption">​ Khi không có thuộc tính kết hợp, năm yếu tố <i> a, b, c, d, e </i> dẫn đến Tamari </​div>​ </​div>​ </​div>​
 +<p> Nếu một phép toán nhị phân là kết hợp, việc lặp lại ứng dụng của phép toán sẽ tạo ra cùng một kết quả bất kể các cặp ngoặc đơn hợp lệ được chèn vào trong biểu thức như thế nào. <sup id="​cite_ref-2"​ class="​reference">​[2]</​sup> ​ được gọi là <b> luật liên kết tổng quát </b>. Ví dụ, một sản phẩm của bốn yếu tố có thể được viết theo năm cách có thể:
 +</p>
 +<​ol><​li>​ ((ab) c) d </li>
 +<li> (ab) (cd) </li>
 +<li> (a (bc)) d </li>
 +<li> a ((bc) d) </li>
 +<li> a (b (cd)) [19659068] Nếu hoạt động sản phẩm là kết hợp, luật liên kết tổng quát nói rằng tất cả các công thức này sẽ mang lại kết quả tương tự, làm cho dấu ngoặc đơn không cần thiết. Vì vậy, &​quot;​sản phẩm&​quot;​ có thể được viết một cách rõ ràng như
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ abcd. </​dd></​dl><​p>​ Khi số phần tử tăng lên, số cách có thể chèn ngoặc đơn tăng nhanh, nhưng chúng vẫn không cần thiết cho việc định hướng.
 +</p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Examples">​ Ví dụ </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<div class="​thumb tright"><​div class="​thumbinner"​ style="​width:​222px;"><​img alt=""​ src="​http://​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​2/​2e/​Associativity_of_binary_operations_%28without_question_marks%29.svg/​220px-Associativity_of_binary_operations_%28without_question_marks%29.svg.png"​ width="​220"​ height="​160"​ class="​thumbimage"​ srcset="//​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​2/​2e/​Associativity_of_binary_operations_%28without_question_marks%29.svg/​330px-Associativity_of_binary_operations_%28without_question_marks%29.svg.png 1.5x, //​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​2/​2e/​Associativity_of_binary_operations_%28without_question_marks%29.svg/​440px-Associativity_of_binary_operations_%28without_question_marks%29.svg.png 2x" data-file-width="​390"​ data-file-height="​283"/> ​ <div class="​thumbcaption">​ Trong hoạt động liên kết là <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (xcirc y)circ z=xcirc (ycirc z)}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mi>​ y </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mi>​ z </​mi><​mo>​ = </​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ y </​mi><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mi>​ z </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (x  circ y)  circ z = x  circ (y  circ z)} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​cd29fd7cf89daf385c7625a32d21027ad068d0b2"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​22.643ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle (x  circ y)  circ z = x  circ (y  circ z)} "/></​span>​ </​div></​div></​div>​
 +<div class="​thumb tright"><​div class="​thumbinner"​ style="​width:​222px;"><​img alt=""​ src="​http://​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​f/​f6/​Associativity_of_real_number_addition.svg/​220px-Associativity_of_real_number_addition.svg.png"​ width="​220"​ height="​67"​ class="​thumbimage"​ srcset="//​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​f/​f6/​Associativity_of_real_number_addition.svg/​330px-Associativity_of_real_number_addition.svg.png 1.5x, //​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​f/​f6/​Associativity_of_real_number_addition.svg/​440px-Associativity_of_real_number_addition.svg.png 2x" data-file-width="​316"​ data-file-height="​96"/> ​ <div class="​thumbcaption">​ Việc bổ sung các số thực là kết hợp. </​div>​ </​div>​ </​div>​
 +<p> Một số ví dụ về các hoạt động liên kết bao gồm những điều sau đây.
 +</p>
 +<​ul><​li>​ Nối ba chuỗi <​code>​ &​quot;​hello&​quot;​ </​code><​code>​ &​quot;&​quot;​ </​code><​code>​ &​quot;​thế giới&​quot;​ </​code>​ có thể được tính bằng cách nối hai chuỗi đầu tiên (cho <​code>​ &​quot;​hello&​quot;​ </​code>​) và nối chuỗi thứ ba (<​code>​ &​quot;​thế giới&​quot;​ </​code>​),​ hoặc bằng cách nối chuỗi thứ hai và thứ ba (cho <​code>​ &​quot;​thế giới&​quot;​ </​code>​) và nối chuỗi đầu tiên (<​code>​ &​quot;​xin chào&​quot;​ </​code>​) với kết quả. Hai phương pháp tạo ra cùng một kết quả; chuỗi nối là kết hợp (nhưng không giao hoán). </li>
 +<li> Trong số học, cộng và phép nhân số thực là kết hợp; tức là, </​li></​ul><​dl><​dd><​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle left.{begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+zquad \(x,​y)z=x(y,​z)=x,​y,​zqquad qquad qquad quad   ,​end{matrix}}right}{mbox{for all }}x,y,zin mathbb {R} .}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mrow><​mo fence="​true"​ stretchy="​true"​ symmetric="​true"/><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mtable rowspacing="​4pt"​ columnspacing="​1em"><​mtr><​mtd><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ + </​mo><​mi>​ y </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ + </​mo><​mi>​ z </​mi><​mo>​ = </​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ + </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ y </​mi><​mo>​ + </​mo><​mi>​ z </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ = </​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ + </​mo><​mi>​ y </​mi><​mo>​ + </​mo><​mi>​ z </​mi><​mspace width="​1em"/></​mtd></​mtr><​mtr><​mtd><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​ y [19659078]) </​mo><​mi>​ z </​mi><​mo>​ = </​mo><​mi>​ x </​mi><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ y </​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​ z </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ = </​mo><​mi>​ x </​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​ y </​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​ z </​mi><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​1em"/><​mtext>​ [19659133] </​mtext><​mspace width="​thinmathspace"/></​mtd></​mtr></​mtable></​mrow><​mo>​} </​mo></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​ cho tất cả </​mtext></​mstyle></​mrow><​mi>​ x </​mi><​mo></​mo><​mi>​ y </​mi><​mo></​mo><​mi>​ z </​mi><​mo>​ ∈ <!-- ∈ --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ R </​mi></​mrow><​mo>​. </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ​ trái. { begin {matrix} (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z  quad \ (x , y) z = x (y , z) = x , y , z  qquad  qquad  qquad  quad   , ​ end {ma trận}} ​ right } { mbox {cho tất cả}} x, y, z  trong  mathbb {R}.} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​0373f6dd20f2cbcc2106b82d294fda046623cc8e"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.505ex; width:​59.992ex;​ height:​6.176ex;"​ alt=" trái. { begin {matrix} (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z  quad \ (x , y) z = x (y , z) = x , y , z  qquad  qquad  qquad  quad   , ​ end {ma trận}} ​ right } { mbox {cho tất cả}} x, y, z  trong  mathbb {R}. "/></​span>​ </dd> </dl> </dd>
 +<dd> Vì sự kết hợp, các dấu ngoặc nhóm có thể được bỏ qua mà không có sự mơ hồ. </​dd></​dl><​ul><​li>​ Hoạt động tầm thường <span class="​texhtml"><​i>​ x </i> ∗ <i> y </i> = <i> x </​i></​span>​ (nghĩa là, kết quả là đối số đầu tiên, bất kể đối số thứ hai là gì) là kết hợp nhưng không giao hoán. </li>
 +<li> Phép cộng và phép nhân số phức và quaternions là kết hợp. Bổ sung các octonion cũng là kết hợp, nhưng phép nhân của các octonion không liên quan đến nhau. </li>
 +<li> Ước lượng chung lớn nhất và nhiều hàm ít phổ biến nhất có liên quan. </​li></​ul><​dl><​dd><​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle left.{begin{matrix}operatorname {gcd} (operatorname {gcd} (x,​y),​z)=operatorname {gcd} (x,​operatorname {gcd} (y,​z))=operatorname {gcd} (x,y,z) quad \operatorname {lcm} (operatorname {lcm} (x,​y),​z)=operatorname {lcm} (x,​operatorname {lcm} (y,​z))=operatorname {lcm} (x,y,z)quad end{matrix}}right}{mbox{ for all }}x,y,zin mathbb {Z} .}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mrow><​mo fence="​true"​ stretchy="​true"​ symmetric="​true"/><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mtable rowspacing="​4pt"​ columnspacing="​1em"><​mtr><​mtd><​mi>​ gcd </​mi><​mo>​ ⁡ <!-- ⁡ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ gcd </​mi><​mo>​ ⁡ <!-- ⁡ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo></​mo><​mi>​ y </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo></​mo><​mi>​ z </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ = </​mo><​mi>​ gcd </​mi><​mo>​[1945<​!-- ⁡ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo></​mo><​mi>​ gcd </​mi><​mo>​ ⁡ <!-- ⁡ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ y </​mi><​mo></​mo><​mi>​ z </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​ ) </​mo><​mo>​ = </​mo><​mi>​ gcd </​mi><​mo>​ ⁡ <!-- ⁡ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo></​mo><​mi>​ y </​mi><​mo></​mo><​mi>​ z </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mtext>​ </​mtext><​mspace width="​1em"/></​mtd></​mtr><​mtr><​mtd><​mi>​ lcm </​mi><​mo>​ ⁡ <!-- ⁡ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ lcm </​mi><​mo>​ ⁡ <!-- ⁡ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo></​mo><​mi>​ y </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo></​mo><​mi>​ z </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ = </​mo><​mi>​ lcm </​mi><​mo>​ ⁡ <!-- ⁡ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo></​mo><​mi>​ lcm </​mi><​mo>​ ⁡ <!-- ⁡ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ y </​mi><​mo>​[19659075] z </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ = </​mo><​mi>​ lcm </​mi><​mo>​ ⁡ <!-- ⁡ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo></​mo><​mi>​ y </​mi><​mo></​mo><​mi>​ z </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mspace width="​1em"/></​mtd></​mtr></​mtable></​mrow><​mo>​} </​mo></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​ cho tất cả </​mtext></​mstyle></​mrow><​mi>​ x </​mi><​mo></​mo><​mi>​ y </​mi><​mo></​mo><​mi>​ z </​mi><​mo>​ ∈ <!-- ∈ --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ Z </​mi></​mrow><​mo>​. </​mo></​mstyle></​mrow>​ { displaystyle ​ left. { begin {matrix} ​ operatorname {gcd} ( operatorname {gcd} (x, y), z) =  operatorname {gcd} (x,  operatorname {gcd} (y, z)) =  operatorname {gcd } (x, y, z)   quad \ operatorname {lcm} ( operatorname {lcm} (x, y), z) =  operatorname {lcm} (x,  operatorname {lcm} (y, z )) =  operatorname {lcm} (x, y, z)  quad  end {ma trận}} ​ right } { mbox {cho tất cả}} x, y, z  trong  mathbb {Z}.} [19659238] ​ trái. { begin {matrix} ​ operatorname {gcd} ( operatorname {gcd} (x, y), z) =  operatorname {gcd} (x,  operatorname {gcd} (y, z)) =  operatorname {gcd } (x, y, z)   quad \ operatorname {lcm} ( operatorname {lcm} (x, y), z) =  operatorname {lcm} (x,  operatorname {lcm} (y, z )) =  operatorname {lcm} (x, y, z)  quad  end {ma trận}} ​ right } { mbox {cho tất cả}} x, y, z  trong  mathbb {Z}. [19659091] </dd> </dl> </dd> </dl> <dl> <dd> <dl> <dd> <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle left.{begin{matrix}(Acap B)cap C=Acap (Bcap C)=Acap Bcap Cquad \(Acup B)cup C=Acup (Bcup C)=Acup Bcup Cquad end{matrix}}right}{mbox{for all sets }}A,​B,​C.}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <​mrow>​ <mo fence="​true"​ stretchy="​true"​ symmetric="​true"/>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mtable rowspacing="​4pt"​ columnspacing="​1em">​ <mtr> <mtd> <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ A </​mi><​mo>​ ∩ <!-- ∩ --> </​mo><​mi>​ B </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∩ <!-- ∩ --> </​mo><​mi>​ C </​mi><​mo>​ = [19659075] A </​mi><​mo>​ ∩ <!-- ∩ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ B </​mi><​mo>​ ∩ <!-- ∩ --> </​mo><​mi>​ C </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ = </​mo><​mi>​ A </​mi><​mo>​ ∩ <!-- ∩ --> [19659075] B </​mi><​mo>​ ∩ <!-- ∩ --> </​mo><​mi>​ C </​mi><​mspace width="​1em"/></​mtd></​mtr><​mtr><​mtd><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ A </​mi><​mo>​ ∪ <!-- ∪ --> </​mo><​mi>​ B </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∪ <!-- ∪ --> </​mo><​mi>​ C </​mi><​mo>​ = </​mo><​mi>​ A </​mi><​mo>​ ∪ <!-- ∪ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ B </​mi><​mo>​ ∪ <!-- ∪ --> </​mo><​mi>​ C </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ = </​mo><​mi>​ A </​mi><​mo>​ ∪ <!-- ∪ --> </​mo><​mi>​ B </​mi><​mo>​ ∪ <!-- ∪ --> </​mo><​mi>​ C </​mi><​mspace width="​1em"/></​mtd></​mtr></​mtable></​mrow><​mo>​} </​mo></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​ cho tất cả các bộ </​mtext></​mstyle></​mrow><​mi>​ A </​mi><​mo></​mo><​mi>​ B </​mi><​mo></​mo><​mi>​ C </​mi><​mo>​. </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ​ left. { begin {ma trận} (A  mũ B)  mũ C = A  mũ (B  mũ C) = A  cap B  mũ C  quad \ (A  tách B)  cup C = A  cup (B  cup C) = A  cup B  cup C  quad  end {ma trận}} ​ right } { mbox {cho tất cả các bộ}} A, B, C.} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​9378029ca082af451f78ddeb60fbe05c99057b4f"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -2.505ex; width:​65.077ex;​ height:​6.176ex;"​ alt=" ​ left. { begin {ma trận} (A  mũ B)  mũ C = A  mũ (B  mũ C) = A  cap B  mũ C  quad \ (A  tách B)  cup C = A  cup (B  cup C) = A  cup B  cup C  quad  end {ma trận}} ​ right } { mbox {cho tất cả các bộ}} A, B, C. "/></​span>​ </dd> </dl> </​dd></​dl><​ul><​li>​ Nếu <i> M </i> là một số bộ và <i> S </i> biểu thị tập hợp tất cả các hàm từ <i> M </i> thành <i> M </​i>​sau đó là hoạt động của <a href="​http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Function_composition"​ title="​Function composition">​ thành phần chức năng trên <i> S </i> là liên kết: </​li></​ul><​dl><​dd><​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (fcirc g)circ h=fcirc (gcirc h)=fcirc gcirc hqquad {mbox{for all }}f,g,hin S.}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ f </​mi><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mi>​ g </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mi>​ h [19659076] = </​mo><​mi>​ f </​mi><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ g </​mi><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mi>​ h </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ = </​mo><​mi>​ f </​mi><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mi>​ g </​mi><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mi>​ h </​mi><​mspace width="​2em"/><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​ cho tất cả </​mtext></​mstyle></​mrow><​mi>​ f </​mi><​mo></​mo><​mi>​ g </​mi><​mo></​mo><​mi>​ h </​mi><​mo>​ ∈ <!-- ∈ --> [19659075] S </​mi><​mo>​. </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (f  circ g)  circ h = f  circ (g  circ h) = f  circ g  circ h  qquad { mbox {cho tất cả}} f, g, h  trong S.} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​1f2d14b385cab65c99113b45b2b7972e24cc7e2a"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​56.021ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" (f  cir cg)  circ h = f  circ (g  circ h) = f  circ g  circ h  qquad { mbox {cho tất cả}} f, g, h  trong S. "/></​span>​ </dd> </dl> </​dd></​dl><​ul><​li>​ Hơi nói chung, được cho bốn bộ <i> M </​i><​i>​ N </​i><​i>​ P </i> và <i> Q </​i>​với <i> h </i> ] <i> </i> tới <i> N </​i><​i>​ g </i>: <i> N </i> tới <i> P </i> và <i> f </i> : <i> P <i> <i> Q </​i>​sau đó </​li></​ul><​dl><​dd><​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (fcirc g)circ h=fcirc (gcirc h)=fcirc gcirc h}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ f </​mi><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mi>​ g </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> [19659075] h </​mi><​mo>​ = </​mo><​mi>​ f </​mi><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ g </​mi><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mi>​ h </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ = </​mo><​mi>​ f [19659076] <!-- ∘ --> </​mo><​mi>​ g </​mi><​mo>​ ∘ <!-- ∘ --> </​mo><​mi>​ h </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (f  circ g)  circ h = f  circ (g  circ h) = f  circ g  circ h} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​7ac9ff2f14721c0ad9348126aad6a77a0a014b8d"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​34.185ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" (f  circ g)  circ h = f  circ (g  circ h) = f  circ g  circ h "/></​span>​ </dd> </dl> </dd> </dl> <dl> <dd> dưới dạng befo lại. Tóm lại, thành phần của bản đồ luôn luôn là kết hợp </​dd></​dl><​ul><​li>​ Hãy xem xét một tập hợp có ba phần tử A, B và C. Hoạt động sau: </​li></​ul><​dl><​dd><​table class="​wikitable"​ style="​text-align:​center"><​tbody><​tr><​th>​ × </th>
 +<th> A </th>
 +<th> B </th>
 +<th> C
 +</​th></​tr><​tr><​th>​ A
 +</th>
 +<td> A </td>
 +<td> A </td>
 +<td> A
 +</​td></​tr><​tr><​th>​ B
 +</th>
 +<td> A </td>
 +<td> B </td>
 +<td> C
 +</​td></​tr><​tr><​th>​ C
 +</th>
 +<td> A </td>
 +<td> A </td>
 +<td> A
 +</​td></​tr></​tbody></​table></​dd></​dl><​dl><​dd>​ là kết hợp. Như vậy, ví dụ, A (BC) = (AB) C = A. Hoạt động này không giao hoán. </​dd></​dl><​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Propositional_logic">​ Đề xuất logic </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<​h3><​span class="​mw-headline"​ id="​Rule_of_replacement">​ Quy tắc thay thế </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ </​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h3>​
 +<p> Trong logic mệnh đề đúng chức năng chuẩn, <i> liên kết </​i><​sup id="​cite_ref-4"​ class="​reference">​[4]</​sup><​sup id="​cite_ref-5"​ class="​reference">​[5]</​sup> ​ hoặc <i> kết hợp </​i><​sup id="​cite_ref-6"​ class="​reference">​[6]</​sup> ​ là hai quy tắc thay thế hợp lệ. Các quy tắc cho phép một để di chuyển dấu ngoặc đơn trong các biểu thức logic trong chứng minh logic. Các quy tắc (sử dụng ký pháp kết nối logic) là:
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (Plor (Qlor R))Leftrightarrow ((Plor Q)lor R)}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo>​ ∨ <!-- ∨ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo>​ ∨ <!-- ∨ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​ ⇔ <!-- ⇔ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo>​ ∨ <!-- ∨ --> </​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∨ <!-- ∨ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (P  lor (Q  lor R))  Leftrightarrow ((P  lor Q)  lor R)} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​e3a8ef30fef20438fb657bb3aff2dfeddb1d1200"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​31.877ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle ( P  lor (Q  lor R))  Leftrightarrow ((P  lor Q)  lor R)} "/></​span></​dd></​dl><​p>​ và
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (Pland (Qland R))Leftrightarrow ((Pland Q)land R),​}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo>​ ∧ <!-- ∧ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo>​ ∧ <!-- ∧ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​ ⇔ <!-- ⇔ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo>​ ∧ <!-- ∧ --> </​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ 19 <!-- ∧ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo></​mo></​mstyle></​mrow>​ { displaystyle (P  đất (Q  land R))  Leftrightarrow ((P  land Q)  land R),} [19659417] { displaystyle (P  land (Q  land R))  Leftrightarrow ((P  land Q)  land R),} "/></​span></​dd></​dl><​p>​ trong đó &​quot;<​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle Leftrightarrow }"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo stretchy="​false">​ ⇔ <!-- ⇔ --> </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ​ Leftrightarrow } </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​64812e13399c20cf3ce94e049d3bb2d85f26abcf"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​2.324ex;​ height:​1.843ex;"​ alt=" ​ Leftrightarrow "/></​span>​ &​quot;​là một <a href="​http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Metalogic"​ title="​Metalogic">​ biểu tượng kim loại đại diện&​quot;​ có thể được thay thế bằng chứng minh &quot;.
 +</p>
 +<​h3><​span class="​mw-headline"​ id="​Truth_functional_connectives">​ Kết nối chức năng thực sự </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h3>​
 +<p> <i> Tính tương đối </i> là một thuộc tính của một số kết nối logic của logic mệnh đề thực tế chức năng. Các tương đương lôgic sau đây chứng minh rằng sự kết hợp là một đặc tính của các kết nối cụ thể. Sau đây là các phép đo thực tế chức năng.
 +</​p><​p>​ <b> Sự tương quan của sự rời rạc </b>:
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle ((Plor Q)lor R)leftrightarrow (Plor (Qlor R))}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo>​ ∨ <!-- ∨ --> </​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo stretchy="​false">​) [19659010] ∨ <!-- ∨ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​ ↔ <!-- ↔ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo>​ ∨ <!-- ∨ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo>​ ∨ <!-- ∨ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ((P  lor Q)  lor R)  leftrightarrow (P  lor (Q  lor R))} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​83022ecdfaf711fdaf67c742e94d33fdabad38bc"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​31.877ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle ( (P  lor Q)  lor R)  leftrightarrow (P  lor (Q  lor R))} "/></​span>​ </dd>
 +<dd> <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (Plor (Qlor R))leftrightarrow ((Plor Q)lor R)}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo>​ ∨ <!-- ∨ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo>​ ∨ <!-- ∨ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​ ↔ <!-- ↔ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo>​ ∨ <!-- ∨ --> </​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∨ <!-- ∨ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (P  lor (Q  lor R))  leftrightarrow ((P  lor Q)  lor R)} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​dbe6682d32332d4ff07effc195b334e497b308f3"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​31.877ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle ( P  lor (Q  lor R))  leftrightarrow ((P  lor Q)  lor R)} "/></​span></​dd></​dl><​p>​ <b> Khả năng kết hợp của kết hợp </b>:
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle ((Pland Q)land R)leftrightarrow (Pland (Qland R))}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo>​ ∧ <!-- ∧ --> </​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo stretchy="​false">​) [19659010] ∧ <!-- ∧ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​ ↔ <!-- ↔ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo>​ ∧ <!-- ∧ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo>​ ∧ <!-- ∧ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ((P  land Q)  đất R)  leftrightarrow (P  land (Q  land R))} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​599ddb9e2cfe377e714700cc2045f57f0d546d05"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​31.877ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle ( (P  land Q)  land R)  leftrightarrow (P  đất (Q  land R))} "/></​span>​ </dd>
 +<dd> <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (Pland (Qland R))leftrightarrow ((Pland Q)land R)}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo>​ ∧ <!-- ∧ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo>​ ∧ <!-- ∧ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​ ↔ <!-- ↔ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo>​ ∧ <!-- ∧ --> </​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∧ <!-- ∧ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (P  đất (Q  land R))  leftrightarrow ((P  land Q)  land R)} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​7042ca691d07414dd554984602225f064b1f66ef"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​31.877ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle ( P  land (Q  land R))  leftrightarrow ((P  land Q)  land R)} "/></​span></​dd></​dl><​p>​ <b> Tương quan tương đương </b>:
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle ((Pleftrightarrow Q)leftrightarrow R)leftrightarrow (Pleftrightarrow (Qleftrightarrow R))}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo stretchy="​false">​ ↔ <!-- ↔ --> </​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo stretchy="​false">​) [19659015] 19 <!-- ↔ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​ ↔ <!-- ↔ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo stretchy="​false">​ ↔ <!-- ↔ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ </​mi><​mo stretchy="​false">​ ↔ <!-- ↔ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ((P  leftrightarrow Q)  leftrightarrow R)  leftrightarrow (P  leftrightarrow (Q  leftrightarrow R))} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​1488e55751da92bcd3467470cfc8e8a7ce5819d2"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​36.003ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" ((P  leftrightarrow Q)  leftrightarrow R)  leftrightarrow (P  leftrightarrow (Q  leftrightarrow R)) "/></​span>​ </dd>
 +<dd> <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (Pleftrightarrow (Qleftrightarrow R))leftrightarrow ((Pleftrightarrow Q)leftrightarrow R)}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo stretchy="​false">​ ↔ <!-- ↔ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo stretchy="​false">​ ↔ <!-- ↔ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​ ↔ <!-- ↔ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ P </​mi><​mo stretchy="​false">​ ↔ <!-- ↔ --> </​mo><​mi>​ Q </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​ 19 <!-- ↔ --> </​mo><​mi>​ R </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (P  leftrightarrow (Q  leftrightarrow R))  leftrightarrow ((P  leftrightarrow Q)  leftrightarrow R)} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​d6a49f0d06f9b7d211d1fd49c9d31b1a842cf696"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​36.003ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" (P  leftrightarrow (Q  leftrightarrow R))  leftrightarrow ((P  leftrightarrow Q)  leftrightarrow R) "/></​span></​dd></​dl><​p>​ Từ chối chung là một ví dụ về kết nối chức năng thực sự là <i> không phải là </i> liên kết.
 +</p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Non-associative_operation">​ Hoạt động không liên kết </p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Non-associative_operation">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<p> Hoạt động nhị phân <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle *}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle *} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​8e9972f426d9e07855984f73ee195a21dbc21755"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ 0.079ex; margin-bottom:​ -0.25ex; width:​1.162ex;​ height:​1.509ex;"​ alt=" * "/></​span>​ trên bộ <i> S </i> không thỏa mãn luật liên kết được gọi là <b> không liên kết </b>. Biểu tượng,
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (x*y)*zneq x*(y*z)qquad {mbox{for some }}x,y,zin S.}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ y </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ z </​mi><​mo>​ ≠ <!-- ≠ --> </​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ y </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ z </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mspace width="​2em"/><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​ cho một số </​mtext></​mstyle></​mrow><​mi>​ x </​mi><​mo></​mo><​mi>​ y </​mi><​mo></​mo><​mi>​ z </​mi><​mo>​ ∈ <!-- ∈ --> </​mo><​mi>​ S </​mi><​mo>​. </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (x * y) * z  neq x * (y * z)  qquad { mbox {đối với một số}} x, y, z  trong S.} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​1fd446a4382f83e60d3229708be37fca0d2640e1"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​46.91ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" (x * y) * z  neq x * (y * z)  qquad {  mbox {cho một số}} x, y, z  trong S. "/></​span></​dd></​dl><​p>​ Đối với một thao tác như vậy, thứ tự đánh giá <i> thực hiện </i>. Ví dụ:
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (5-3)-2,neq ,​5-(3-2)}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 5 </​mn><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 3 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 2 </​mn><​mspace width="​thinmathspace"/><​mo>​ ≠ <!-- ≠ --></​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mn>​ 5 </​mn><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 3 </​mn><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 2 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ( 5-3) -2 ,  neq , 5- (3-2)} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​fb3f6faa396ac65513dabe9782babb3accaf387d"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​25.828ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" (5-3) -2 ,  neq , 5- (3-2) "/></​span>​ </dd> </dl> <dl> <dd> <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (4/2)/2,neq ,​4/​(2/​2)}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 4 </​mn><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>​ / </​mo></​mrow><​mn>​ 2 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>​ / </​mo></​mrow><​mn>​ 2 </​mn><​mspace width="​thinmathspace"/><​mo>​ ≠ <!-- ≠ --></​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mn>​ 4 </​mn><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>​ / </​mo></​mrow><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 2 </​mn><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>​ / </​mo></​mrow><​mn>​ 2 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (4/2) / 2  ,  neq , 4 / (2/2)} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​ce99bd10172c6b9da8f3a475168880aa004d2a0d"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​19.116ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" (4/2) / 2 ,  neq , 4 / (2/2) "/></​span>​ </dd> </dl> <dl> <dd> <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle 2^{(1^{2})},​neq ,​(2^{1})^{2}}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <​msup>​ <mn> 2 </​mn><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​msup><​mn>​ 1 </​mn><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​ 2 </​mn></​mrow></​msup><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mrow></​msup><​mspace width="​thinmathspace"/><​mo>​ ≠ <!-- ≠ --></​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mo stretchy="​false">​ ( </​mo><​msup><​mn>​ 2 </​mn><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​ 1 </​mn></​mrow></​msup><​msup><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​ 2 </​mn></​mrow></​msup></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle 2 ^ {(1 ^ {2})} ,  neq , (2 ^ {1}) ^ {2}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​a40b98aac13ac468277c5041735ed8d0763c7adb"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​13.281ex;​ height:​3.509ex;"​ alt=" 2 ^ {(1 ^ {2})} ,  neq , (2 ^ {1}) ^ {2} "/></​span></​dd></​dl><​p>​ Cũng lưu ý rằng các khoản tiền vô hạn thường không liên kết, ví dụ:
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+dots ,​=,​0}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo stretchy="​false">​) [19659010] + </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ + </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ + </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ + </​mo><​mo stretchy="​false">​ ([19659006] 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ + </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 [19659009]) </​mo><​mo>​ + </​mo><​mo>​… <!-- … --></​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mo>​ = </​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mn>​ 0 </​mn></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + - 1) + (1 + -1) + (1 + -1) +  dots , = , 0} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​d72cf6ebb8b7ccb68027daae8f5036a2be2aa1e6"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​77.497ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + - 1) + (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) +  dots , = , 0} "/></​span></​dd></​dl><​p>​ trong khi
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+dots ,​=,​1}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mn> 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + [19659006] 1 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ + </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ + </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ + </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo stretchy="​false">​) [19659010] + </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ + </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 [19659007] + </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ + </​mo><​mo>​… <!-- … --></​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mo>​ = </​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mn>​ 1 </​mn></​mstyle></​mrow>​ { displaystyle 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + ( -1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) +  dots , = , 1} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​1d9f2d0f84a6a242de44e5220abe3f38a2837ee4"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​81.5ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) +  dots , = , 1} "/></​span></​dd></​dl><​p>​ Nghiên cứu các cấu trúc không liên quan phát sinh từ các lý do hơi khác với dòng chính của đại số cổ điển. Một khu vực trong <a href="​http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Non-associative_algebra"​ title="​Non-associative algebra">​ đại số không liên kết đã phát triển rất lớn là đại số Lie. Có luật liên kết được thay thế bằng bản sắc Jacobi. Đại số Lie trừu tượng bản chất thiết yếu của biến đổi infinitesimal,​ và đã trở thành phổ biến trong toán học.
 +</​p><​p>​ Có các loại cấu trúc phi liên kết cụ thể khác đã được nghiên cứu sâu; chúng có xu hướng đến từ một số ứng dụng hoặc lĩnh vực cụ thể như toán kết hợp. Các ví dụ khác là Quasigroup, Quasifield, Non-associative ring, Đại số không liên kết và Magma không liên quan giao hoán.
 +</p>
 +<​h3><​span class="​mw-headline"​ id="​Nonassociativity_of_floating_point_calculation">​ Nonassociativity của tính toán dấu chấm động </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h3>​
 +<p> Trong toán học, bổ sung và nhân của số thực là kết hợp. Ngược lại, trong khoa học máy tính, việc cộng và phép nhân các số dấu phẩy động là <i> chứ không phải </i> liên kết, khi các lỗi làm tròn được giới thiệu khi các giá trị khác nhau được nối với nhau. <sup id="​cite_ref-7"​ class="​reference">​ [7] </​sup>​ [19659004] Để minh họa điều này, hãy xem xét một biểu diễn dấu phẩy động với một mantissa 4 bit:
 +<br/> (1.000 <sub> 2 </​sub>​ × 2 <sup> 0 </​sup>​ +
 +1.000 <sub> 2 </​sub>​ × 2 <sup> 0 </​sup>​) +
 +1.000 <sub> 2 </​sub>​ × 2 <sup> 4 </​sup>​ =
 +1.000 <sub> 2 </​sub>​ × 2 <sup> 1 </​sup>​ +
 +1.000 <sub> 2 </​sub>​ × 2 <sup> 4 </​sup>​ =
 +1.00 <span style="​color:​red;">​ 1 </​span><​sub>​ 2 </​sub>​ × 2 <sup> 4 </​sup><​br/>​ 1.000 <sub> 2 </​sub>​ × 2 <sup> 0 </​sup>​ +
 +(1.000 <sub> 2 </​sub>​ × 2 <sup> 0 </​sup>​ +
 +1.000 <sub> 2 </​sub>​ × 2 <sup> 4 </​sup>​) =
 +1.000 <sub> 2 </​sub>​ × 2 <sup> 0 </​sup>​ +
 +1,00 <span style="​color:​red;">​ 0 </​span><​sub>​ 2 </​sub>​ × 2 <sup> 4 </​sup>​ =
 +1,00 <span style="​color:​red;">​ 0 </​span><​sub>​ 2 </​sub>​ × 2 <sup> 4 </​sup>​ </​p><​p>​ Mặc dù hầu hết các máy tính tính toán với 24 hoặc 53 bit mantissa, <sup id="​cite_ref-8"​ class="​reference">​[8]</​sup> ​ đây là một nguồn quan trọng của lỗi làm tròn, và các cách tiếp cận như thuật toán tổng kết Kahan là cách để giảm thiểu các lỗi. <sup id="​cite_ref-9"​ class="​reference">​[9]</​sup><​sup id="​cite_ref-Goldberg_1991_10-0"​ class="​reference">​[10]</​sup></​p>​
 +<​h3><​span class="​mw-headline"​ id="​Notation_for_non-associative_operations">​ Ký hiệu cho các phép toán không liên kết </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h3>​
 +
 +<p> Nói chung, dấu ngoặc đơn phải được dùng để chỉ ra thứ tự đánh giá nếu không hoạt động liên kết xuất hiện nhiều lần trong một biểu thức. Tuy nhiên, các nhà toán học đồng ý về một thứ tự đánh giá cụ thể cho một số hoạt động không liên quan phổ biến. Đây chỉ đơn giản là một quy ước phi lý để tránh các dấu ngoặc đơn.
 +</​p><​p>​ Hoạt động liên kết bên trái <b> <b> là hoạt động không liên kết được đánh giá theo cách thông thường từ trái sang phải, tức là,
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle left.{begin{matrix}x*y*z=(x*y)*zqquad qquad quad ,​\w*x*y*z=((w*x)*y)*zquad \{mbox{etc.}}qquad qquad qquad qquad qquad qquad   ,​end{matrix}}right}{mbox{for all }}w,x,y,zin S}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <​mrow>​ <mo fence="​true"​ stretchy="​true"​ symmetric="​true"/>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mtable rowspacing="​4pt"​ columnspacing="​1em">​ <mtr> <mtd> <mi> x </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ y </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ z </​mi><​mo>​ = </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ y </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> [19659075] z </​mi><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​1em"/><​mspace width="​thinmathspace"/></​mtd></​mtr><​mtr><​mtd><​mi>​ w </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ y </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ z </​mi><​mo>​ = </​mo><​mo stretchy="​false">​ ([19659015] (</​mo><​mi>​ w </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ x </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ y </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ z </​mi><​mspace width="​1em"/></​mtd></​mtr><​mtr><​mtd><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​ vv </​mtext></​mstyle></​mrow><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mtext>​ </​mtext><​mtext>​ </​mtext><​mspace width="​thinmathspace"/></​mtd></​mtr></​mtable></​mrow><​mo>​} </​mo></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​ cho tất cả </​mtext></​mstyle></​mrow><​mi>​ w </​mi><​mo></​mo><​mi>​ x </​mi><​mo></​mo><​mi>​ y </​mi><​mo></​mo><​mi>​ z </​mi><​mo>​ ∈ <!-- ∈ --> </​mo><​mi>​ S </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ​ left. { begin {matrix} x * y * z = (x * y) * z  qquad  qquad  quad , \ w * x * y * z = ((w * x) * y) * z  quad \ { mbox {etc.}} ​ qquad  qquad  qquad  qquad  qquad  qquad   , ​ end {ma trận}} ​ right } { mbox {cho tất cả}} w, x, y, z  trong S} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​d398097103855acb5e364c46a902d8e472b701a5"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -4.171ex; width:​55.323ex;​ height:​9.509ex;"​ alt=" ​ trái. { begin {matrix} x * y * z = (x * y) * z  qquad  qquad  quad , \ w * x * y * z = ((w * x) * y) * z  quad \ { mbox {etc.}} ​ qquad  qquad  qquad  qquad  qquad  qquad   , ​ end {ma trận}} ​ right } { mbox {cho tất cả}} w, x, y, z  trong S "/></​span></​dd></​dl><​p>​ trong khi hoạt động </b> liên kết bên phải </b> được đánh giá theo cách thông thường từ phải sang trái:
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle left.{begin{matrix}x*y*z=x*(y*z)qquad qquad quad ,​\w*x*y*z=w*(x*(y*z))quad \{mbox{etc.}}qquad qquad qquad qquad qquad qquad   ,​end{matrix}}right}{mbox{for all }}w,x,y,zin S}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <​mrow>​ <mo fence="​true"​ stretchy="​true"​ symmetric="​true"/>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mtable rowspacing="​4pt"​ columnspacing="​1em">​ <mtr> <mtd> <mi> x </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ y </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ z </​mi><​mo>​ = </​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ y </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ z [19659078]) </​mo><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​1em"/><​mspace width="​thinmathspace"/></​mtd></​mtr><​mtr><​mtd><​mi>​ w </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ y </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ z </​mi><​mo>​ = </​mo><​mi>​ w </​mi><​mo>​ ] ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ y </​mi><​mo>​ ∗ <!-- ∗ --> </​mo><​mi>​ z </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mspace width="​1em"/></​mtd></​mtr><​mtr><​mtd><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​ vv </​mtext></​mstyle></​mrow><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mspace width="​2em"/><​mtext>​ </​mtext><​mtext>​ </​mtext><​mspace width="​thinmathspace"/></​mtd></​mtr></​mtable></​mrow><​mo>​} </​mo></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​ cho tất cả </​mtext></​mstyle></​mrow><​mi>​ w </​mi><​mo></​mo><​mi>​ x </​mi><​mo></​mo><​mi>​ y </​mi><​mo></​mo><​mi>​ z </​mi><​mo>​ ∈ <!-- ∈ --> </​mo><​mi>​ S </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ​ left. { begin {matrix} x * y * z = x * (y * z)  qquad  qquad  quad , \ w * x * y * z = w * (x * (y * z))  quad \ { mbox {etc.}} ​ qquad  qquad  qquad  qquad  qquad  qquad   , ​ end {ma trận}} ​ right } { mbox {cho tất cả}} w, x, y, z  trong S} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​04dd3ba41a708682179bad22ee14162a221cf3e4"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -4.171ex; width:​55.323ex;​ height:​9.509ex;"​ alt=" ​ trái. { begin {matrix} x * y * z = x * (y * z)  qquad  qquad  quad , \ w * x * y * z = w * (x * (y * z))  quad \ { mbox {etc.}} ​ qquad  qquad  qquad  qquad  qquad  qquad   , ​ end {ma trận}} ​ right } { mbox {cho tất cả}} w, x, y, z  in S "/></​span></​dd></​dl><​p>​ Cả hai hoạt động liên kết bên trái và bên phải đều xảy ra. Các hoạt động liên kết bên trái bao gồm:
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <dl> <dd> <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle x-y-z=(x-y)-z}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mi> x </​mi><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mi>​ y </​mi><​mo>​ - <!-- − --> [19659075] z </​mi><​mo>​ = </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mi>​ y </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mi>​ z </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle xyz = ( xy) -z} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​332b4de72030c6dcdd3471eb33a9596cffbf9c31"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​23.416ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle xyz = (xy) -z} "/></​span>​ </dd>
 +<dd> <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle x/​y/​z=(x/​y)/​z}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mi> x </​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>​ / </​mo></​mrow><​mi>​ y </​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>​ / </​mo></​mrow><​mi>​ z </​mi><​mo>​ = </​mo><​mo stretchy="​false">​ ([19659075] x </​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>​ / </​mo></​mrow><​mi>​ y </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>​ / </​mo></​mrow><​mi>​ z </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle x / y / z = (x / y) / z} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​b0745b1190349c3ea09b5c8269410feec9997198"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​16.704ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle x / y / z = (x / y) / z} "/></​span>​ </dd> </dl> </dd> </dl> <dl> <dd> <dl> <dd> <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (f,​x,​y)=((f,​x),​y)}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ f </​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​ x </​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​ y </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ = </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ f </​mi><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​ x [19659078]) </​mo><​mspace width="​thinmathspace"/><​mi>​ y </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (f , x , y) = ((f , x) , y)} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​b389e63479531bb728bbef3b2b5d0e3bc4324244"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​17.602ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" (f , x , y) = ((f , x) , y) "/></​span>​ </dd> </dl> </dd>
 +<dd> Ký hiệu này có thể được thúc đẩy bởi tính đẳng hình currying. </​dd></​dl><​p>​ Các hoạt động liên kết bên phải bao gồm:
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <dl> <dd> <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <​msup>​ <mi> x </​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​msup><​mi>​ y </​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​ z </​mi></​mrow></​msup></​mrow></​msup><​mo>​ = </​mo><​msup><​mi>​ x </​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​msup><​mi>​ y </​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​ z </​mi></​mrow></​msup><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mrow></​msup></​mstyle></​mrow>​ { displaystyle x ^ {y ^ {z}} = x ^ {(y ^ {z})}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​571ed1b1dee0de3134a507fcb430ae2898365e57"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​10.721ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle x ^ {y ^ {z}} = x ^ {(y ^ {z})}} "/></​span>​ </dd> </dl> </dd> </dl> <dl> <dd> Một lý do hàm mũ là kết hợp đúng là một phép toán lũy thừa liên kết bên trái lặp lại sẽ ít hữu ích hơn. Nhiều lần xuất hiện có thể (và sẽ) được viết lại với phép nhân: </​dd></​dl><​dl><​dd><​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (x^{y})^{z}=x^{(yz)}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​msup><​mi>​ x </​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​ y </​mi></​mrow></​msup><​msup><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​ z </​mi></​mrow></​msup><​mo>​ = </​mo><​msup><​mi>​ x </​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ y [19659917] z </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mrow></​msup></​mstyle></​mrow>​ <​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (x ^ {y}) ^ {z} = x ^ {(yz)}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​f029ff59aa603e3f8b660abd3a1b6af99a3be8e0"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​12.716ex;​ height:​3.343ex;"​ alt=" { displaystyle (x ^ {y}) ^ { z} = x ^ {(yz)}} "/></​span>​ </dd> </dl> </dd> </dl> <dl> <dd> Một đối số bổ sung cho lũy thừa là liên kết phù hợp là siêu âm vốn hoạt động như một tập hợp ngoặc đơn; ví dụ. trong biểu thức <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle 2^{x+3}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​msup><​mn>​ 2 </​mn><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​ x </​mi><​mo>​ + </​mo><​mn>​ 3 </​mn></​mrow></​msup></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle 2 ^ {x + 3}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​15b9caae3cbba62c80da961b02d99d6dffe397ce"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​4.435ex;​ height:​2.676ex;"​ alt=" { displaystyle 2 ^ {x + 3}} "/></​span>​ việc bổ sung được thực hiện <a href="​http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Order_of_operations"​ title="​Order of operations">​ trước khi số mũ mặc dù không có dấu ngoặc đơn rõ ràng <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle 2^{(x+3)}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​msup><​mn>​ 2 </​mn><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ + </​mo><​mn>​ 3 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mrow></​msup></​mstyle></​mrow>​ <​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle 2 ^ {(x + 3)}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​0b75e5618a0dd67c7bef4bd3b260a5832c58bfa4"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​5.715ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle 2 ^ {(x + 3)}} "/></​span>​ được bao quanh. Thus given an expression such as <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle x^{y^{z}}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​msup><​mi>​x</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​msup><​mi>​y</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​z</​mi></​mrow></​msup></​mrow></​msup></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle x^{y^{z}}}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​565240fe524b85973863acdab998c0e296eab57e"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​3.171ex;​ height:​2.676ex;"​ alt="​x^{y^z}"/></​span>​it makes sense to require evaluating the full exponent <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle y^{z}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​msup><​mi>​y</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​z</​mi></​mrow></​msup></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle y^{z}}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​f8c2cd4410cc6b1d1dd0e34c746bbdb98bf65cf4"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.671ex; width:​2.162ex;​ height:​2.676ex;"​ alt="​{displaystyle y^{z}}"/></​span>​ of the base <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle x}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​x</​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle x}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​1.33ex;​ height:​1.676ex;"​ alt="​x"/></​span>​ first.</​dd></​dl><​dl><​dd><​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle auparrow uparrow b=,​^{b}a}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​a</​mi><​mo stretchy="​false">​↑<​!-- ↑ -->​↑<​!-- ↑ --></​mo><​mi>​b</​mi><​mo>​=</​mo><​msup><​mspace width="​thinmathspace"/><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​b</​mi></​mrow></​msup><​mi>​a</​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle auparrow uparrow b=,​^{b}a}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​2091b4b135355d92e36ab3af3b5d29dac873fc4f"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.671ex; width:​11.496ex;​ height:​3.009ex;"​ alt="​auparrow uparrow b=,​^{b}a"/></​span></​dd></​dl></​dd></​dl><​dl><​dd><​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z} =mathbb {Z} rightarrow (mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z} )}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​Z</​mi></​mrow><​mo stretchy="​false">​→<​!-- → --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​Z</​mi></​mrow><​mo stretchy="​false">​→<​!-- → --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​Z</​mi></​mrow><​mo>​=</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​Z</​mi></​mrow><​mo stretchy="​false">​→<​!-- → --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​Z</​mi></​mrow><​mo stretchy="​false">​→<​!-- → --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​Z</​mi></​mrow><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z} =mathbb {Z} rightarrow (mathbb {Z} rightarrow ma thbb {Z} )}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​328525848cc4d210ba95a8927ebe7dd9c3f1ad66"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​28.666ex;​ height:​2.843ex;"​ alt="​mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z} =mathbb {Z} rightarrow (mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z} )"/></​span></​dd>​
 +<​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle xmapsto ymapsto x-y=xmapsto (ymapsto x-y)}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​↦<​!-- ↦ --></​mo><​mi>​y</​mi><​mo stretchy="​false">​↦<​!-- ↦ --></​mo><​mi>​x</​mi><​mo>​−<​!-- − --></​mo><​mi>​y</​mi><​mo>​=</​mo><​mi>​x</​mi><​mo stretchy="​false">​↦<​!-- ↦ --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​y</​mi><​mo stretchy="​false">​↦<​!-- ↦ --></​mo><​mi>​x</​mi><​mo>​−<​!-- − --></​mo><​mi>​y</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mstyle></​mrow>​{displaystyle xmapsto ymapsto x-y=xmapsto (ymapsto x-y)}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​772c99f4ab4899b43ef9ae9facad1448fd7abd7e"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​34.986ex;​ height:​2.843ex;"​ alt="​xmapsto ymapsto x-y=xmapsto (ymapsto x-y)"/></​span></​dd></​dl></​dd></​dl><​dl><​dd>​Using right-associative notation for these operations can be motivated by the <a href="​http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Curry-Howard_correspondence"​ class="​mw-redirect"​ title="​Curry-Howard correspondence">​Curry-Howard correspondence and by the currying isomorphism.</​dd></​dl><​p>​Non-associative operations for which no conventional evaluation order is defined include the following.
 +</p>
 +<​dl><​dd><​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle {vec {a}}times ({vec {b}}times {vec {c}})neq ({vec {a}}times {vec {b}})times {vec {c}}qquad {mbox{ for some }}{vec {a}},{vec {b}},{vec {c}}in mathbb {R} ^{3}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mover><​mi>​a</​mi><​mo stretchy="​false">​→<​!-- → --></​mo></​mover></​mrow></​mrow><​mo>​×<​!-- × --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mover><​mi>​b</​mi><​mo stretchy="​false">​→<​!-- → --></​mo></​mover></​mrow></​mrow><​mo>​×<​!-- × --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mover><​mi>​c</​mi><​mo stretchy="​false">​→<​!-- → --></​mo></​mover></​mrow></​mrow><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​≠<​!-- ≠ --></​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mover><​mi>​a</​mi><​mo stretchy="​false">​→<​!-- → --></​mo></​mover></​mrow></​mrow><​mo>​×<​!-- × --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mover><​mi>​b</​mi><​mo stretchy="​false">​→<​!-- → --></​mo></​mover></​mrow></​mrow><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mo>​×<​!-- × --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mover><​mi>​c</​mi><​mo stretchy="​false">​→<​!-- → --></​mo></​mover></​mrow></​mrow><​mspace width="​2em"/><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​ for some </​mtext></​mstyle></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mover><​mi>​a</​mi><​mo stretchy="​false">​→<​!-- → --></​mo></​mover></​mrow></​mrow><​mo>,</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mover><​mi>​b</​mi><​mo stretchy="​false">​→<​!-- → --></​mo></​mover></​mrow></​mrow><​mo>,</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mover><​mi>​c</​mi><​mo stretchy="​false">​→<​!-- → --></​mo></​mover></​mrow></​mrow><​mo>​∈<​!-- ∈ --></​mo><​msup><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​R</​mi></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​3</​mn></​mrow></​msup></​mstyle></​mrow>​{displaystyle {vec {a}}times ({vec {b}}times {vec {c}})neq ({vec {a}}times {vec {b}})times {vec {c}}qquad {mbox{ for some }}{vec {a}},{vec {b}},{vec {c}}in mathbb {R} ^{3}}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​017745f14a400226c68d119ac4425c871b433689"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​50.58ex;​ height:​3.343ex;"​ alt="​{vec {a}}times ({vec {b}}times {vec {c}})neq ({vec {a}}times {vec {b}})times {vec {c}}qquad {mbox{ for some }}{vec {a}},{vec {b}},{vec {c}}in mathbb {R} ^{3}"/></​span></​dd></​dl></​dd></​dl><​ul><​li>​Taki ng the pairwise <a href="​http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Average"​ title="​Average">​average of real numbers:</​li></​ul><​dl><​dd><​dl><​dd><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle {(x+y)/2+z over 2}neq {x+(y+z)/2 over 2}qquad {mbox{for all }}x,y,zin mathbb {R} {mbox{ with }}xneq z.}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mrow><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​x</​mi><​mo>​+</​mo><​mi>​y</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>/</​mo></​mrow><​mn>​2</​mn><​mo>​+</​mo><​mi>​z</​mi></​mrow><​mn>​2</​mn></​mfrac></​mrow><​mo>​≠<​!-- ≠ --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mfrac><​mrow><​mi>​x</​mi><​mo>​+</​mo><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​y</​mi><​mo>​+</​mo><​mi>​z</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>/</​mo></​mrow><​mn>​2</​mn></​mrow><​mn>​2</​mn></​mfrac></​mrow><​mspace width="​2em"/><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​for all </​mtext></​mstyle></​mrow><​mi>​x</​mi><​mo>,</​mo><​mi>​y</​mi><​mo>,</​mo><​mi>​z</​mi><​mo>​∈<​!-- ∈ --></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​R</​mi></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mtext>​ with </​mtext></​mstyle></​mrow><​mi>​x</​mi><​mo>​≠<​!-- ≠ --></​mo><​mi>​z</​mi><​mo>​.</​mo></​mstyle></​mrow>​{displaystyle {(x+y)/2+z over 2}neq {x+(y+z)/2 over 2}qquad {mbox{for all }}x,y,zin mathbb {R} {mbox{ with }}xneq z.}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​a2e2b38f210b6a3cc70092f139bbbde968b6ae25"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -1.838ex; width:​64.602ex;​ height:​5.676ex;"​ alt="​{(x+y)/​2+z over 2}neq {x+(y+z)/2 over 2}qquad {mbox{for all }}x,y,zin mathbb {R} {mbox{ with }}xneq z."/></​span></​dd></​dl></​dd></​dl><​ul><​li>​Taking the <a href="​http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Complement_(set_theory)"​ title="​Complement (set theory)">​relative complement of sets <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (Abackslash B)backslash C}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​A</​mi><​mi class="​MJX-variant"​ mathvariant="​normal">​∖<​!-- ∖ --></​mi><​mi>​B</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo><​mi class="​MJX-variant"​ mathvariant="​normal">​∖<​!-- ∖ --></​mi><​mi>​C</​mi></​mstyle></​mrow>​{displaystyle (Abackslash B)backslash C}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​06365b4731309c65b8d328990f01ca9cfe7d0755"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​9.408ex;​ height:​2.843ex;"​ alt="​(Abackslash B)backslash C[19659091] is not the same as <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle Abackslash (Bbackslash C)}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​A</​mi><​mi class="​MJX-variant"​ mathvariant="​normal">​∖<​!-- ∖ --></​mi><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​B</​mi><​mi class="​MJX-variant"​ mathvariant="​normal">​∖<​!-- ∖ --></​mi><​mi>​C</​mi><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle Abackslash (Bbackslash C)}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​a1c6146fe14c4242176394843eb8dfb5d616235c"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​9.408ex;​ height:​2.843ex;"​ alt="​Abackslash (Bbackslash C)"/></​span>​. (Compare <a href="​http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Material_nonimplication"​ title="​Material nonimplication">​material nonimplication in logic.)</​li></​ul><​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​See_also">​See also</​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​[</​span>​edit<​span class="​mw-editsection-bracket">​]</​span></​span></​h2>​
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​References">​References</​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​[</​span>​edit<​span class="​mw-editsection-bracket">​]</​span></​span></​h2>​
 +<div class="​reflist"​ style="​list-style-type:​ decimal;">​
 +<div class="​mw-references-wrap mw-references-columns"><​ol class="​references"><​li id="​cite_note-1"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​
 +<cite class="​citation book">​Hungerford,​ Thomas W. (1974). <​i>​Algebra</​i>​ (1st ed.). Springer. p. 24. ISBN 0387905189. <​q>​Definition 1.1 (i) a(bc) = (ab)c for all a, b, c in G.</​q></​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Algebra&​rft.pages=24&​rft.edition=1st&​rft.pub=Springer&​rft.date=1974&​rft.isbn=0387905189&​rft.aulast=Hungerford&​rft.aufirst=Thomas+W.&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AAssociative+property"​ class="​Z3988"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-2"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite class="​citation book">​Durbin,​ John R. (1992). <​i>​Modern Algebra: an Introduction</​i>​ (3rd ed.). New York: Wiley. p. 78. ISBN 0-471-51001-7. <q>If <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle a_{1},​a_{2},​dots ,​a_{n},,​(ngeq 2)}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​msub><​mi>​a</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​1</​mn></​mrow></​msub><​mo>,</​mo><​msub><​mi>​a</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​2</​mn></​mrow></​msub><​mo>,</​mo><​mo>​…<​!-- … --></​mo><​mo>,</​mo><​msub><​mi>​a</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​n</​mi></​mrow></​msub><​mspace width="​thinmathspace"/><​mspace width="​thinmathspace"/><​mo stretchy="​false">​(</​mo><​mi>​n</​mi><​mo>​≥<​!-- ≥ --></​mo><​mn>​2</​mn><​mo stretchy="​false">​)</​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle a_{1},​a_{2},​dots ,​a_{n},,​(ngeq 2)}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​afcd535b3f34f8f8b227f20cebc10244cc8850f9"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​21.468ex;​ height:​2.843ex;"​ alt="​a_{1},​a_{2},​dots ,​a_{n},,​(ngeq 2)"/></​span>​ are elements of a set with an associative operation, then the product <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle a_{1}a_{2}dots a_{n}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​msub><​mi>​a</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​1</​mn></​mrow></​msub><​msub><​mi>​a</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​2</​mn></​mrow></​msub><​mo>​…<​!-- … --></​mo><​msub><​mi>​a</​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi>​n</​mi></​mrow></​msub></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​{displaystyle a_{1}a_{2}dots a_{n}}</​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​261c24ca10b9e43dc5fcf686e138636e8a3749b1"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.671ex; width:​10.514ex;​ height:​2.009ex;"​ alt="​a_{1}a_{2}dots a_{n}"/></​span>​ is unambiguous;​ this is, the same element will be obtained regardless of how parentheses are inserted in the product</​q></​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Modern+Algebra%3A+an+Introduction&​rft.place=New+York&​rft.pages=78&​rft.edition=3rd&​rft.pub=Wiley&​rft.date=1992&​rft.isbn=0-471-51001-7&​rft.aulast=Durbin&​rft.aufirst=John+R.&​rft_id=http%3A%2F%2Fwww.wiley.com%2FWileyCDA%2FWileyTitle%2FproductCd-EHEP000258.html&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AAssociative+property"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-3"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite class="​citation web">&​quot;​Matrix product associativity&​quot;​. Khan Academy<​span class="​reference-accessdate">​. Retrieved <span class="​nowrap">​5 June</​span>​ 2016</​span>​.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=unknown&​rft.btitle=Matrix+product+associativity&​rft.pub=Khan+Academy&​rft_id=http%3A%2F%2Fwww.khanacademy.org%2Fmath%2Flinear-algebra%2Fmatrix-transformations%2Fcomposition-of-transformations%2Fv%2Fmatrix-product-associativity&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AAssociative+property"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-4"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​Moore and Parker<​sup class="​noprint Inline-Template"​ style="​white-space:​nowrap;">​[<​i><​span title="​A complete citation is needed (October 2016)">​full citation needed</​span></​i>​]</​sup></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-5"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​Copi and Cohen<​sup class="​noprint Inline-Template"​ style="​white-space:​nowrap;">​[<​i><​span title="​A complete citation is needed (October 2016)">​full citation needed</​span></​i>​]</​sup></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-6"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​Hurley<​sup class="​noprint Inline-Template"​ style="​white-space:​nowrap;">​[<​i><​span title="​A complete citation is needed (October 2016)">​full citation needed</​span></​i>​]</​sup></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-7"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​Knuth,​ Donald, The Art of Computer Programming,​ Volume 3, section 4.2.2</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-8"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite id="​CITEREFIEEE_7542008"​ class="​citation journal">​IEEE Computer Society (August 29, 2008). &​quot;​IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic&​quot;​. IEEE. doi:​10.1109/​IEEESTD.2008.4610935. ISBN 978-0-7381-5753-5. IEEE Std 754-2008.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&​rft.genre=article&​rft.atitle=IEEE+Standard+for+Floating-Point+Arithmetic&​rft.date=2008-08-29&​rft_id=info%3Adoi%2F10.1109%2FIEEESTD.2008.4610935&​rft.isbn=978-0-7381-5753-5&​rft.au=IEEE+Computer+Society&​rft_id=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fservlet%2Fopac%3Fpunumber%3D4610933&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AAssociative+property"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-9"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite id="​CITEREFVillaChavarría-mirGurumoorthiMárquez"​ class="​citation">​Villa,​ Oreste; Chavarría-mir,​ Daniel; Gurumoorthi,​ Vidhya; Márquez, Andrés; Krishnamoorthy,​ Sriram, <​i>​Effects of Floating-Point non-Associativity on Numerical Computations on Massively Multithreaded Systems</​i>​ <span class="​cs1-format">​(PDF)</​span><​span class="​reference-accessdate">​retrieved <span class="​nowrap">​2014-04-08</​span></​span></​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Effects+of+Floating-Point+non-Associativity+on+Numerical+Computations+on+Massively+Multithreaded+Systems&​rft.aulast=Villa&​rft.aufirst=Oreste&​rft.au=Chavarr%C3%ADa-mir%2C+Daniel&​rft.au=Gurumoorthi%2C+Vidhya&​rft.au=M%C3%A1rquez%2C+Andr%C3%A9s&​rft.au=Krishnamoorthy%2C+Sriram&​rft_id=http%3A%2F%2Fcass-mt.pnnl.gov%2Fdocs%2Fpubs%2Fpnnleffects_of_floating-pointpaper.pdf&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AAssociative+property"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-Goldberg_1991-10"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite class="​citation journal">​Goldberg,​ David (March 1991). &​quot;​What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic&​quot;​ <span class="​cs1-format">​(PDF)</​span>​. <​i>​ACM Computing Surveys</​i>​. <​b>​23</​b>​ (1): 5–48. doi:​10.1145/​103162.103163<​span class="​reference-accessdate">​. Retrieved <span class="​nowrap">​2016-01-20</​span></​span>​.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&​rft.genre=article&​rft.jtitle=ACM+Computing+Surveys&​rft.atitle=What+Every+Computer+Scientist+Should+Know+About+Floating-Point+Arithmetic&​rft.volume=23&​rft.issue=1&​rft.pages=5-48&​rft.date=1991-03&​rft_id=info%3Adoi%2F10.1145%2F103162.103163&​rft.aulast=Goldberg&​rft.aufirst=David&​rft_id=http%3A%2F%2Fperso.ens-lyon.fr%2Fjean-michel.muller%2Fgoldberg.pdf&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AAssociative+property"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/>​ ([1][2])</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-11"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​George Mark Bergman: Order of arithmetic operations</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-12"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​Education Place: The Order of Operations</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-13"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​Khan Academy: The Order of Operations, timestamp 5m40s</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-14"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​Virginia Department of Education: Using Order of Operations and Exploring Properties, section 9</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-Bronstein_1987-15"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​Bronstein:​ de:​Taschenbuch der Mathematik, pages 115-120, chapter: 2.4.1.1, <link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/>​ISBN 978-3-8085-5673-3</​span>​
 +</li>
 +</​ol></​div></​div>​
 +
 +<​!-- ​
 +NewPP limit report
 +Parsed by mw1315
 +Cached time: 20181112063021
 +Cache expiry: 1900800
 +Dynamic content: false
 +CPU time usage: 0.404 seconds
 +Real time usage: 0.585 seconds
 +Preprocessor visited node count: 1694/​1000000
 +Preprocessor generated node count: 0/1500000
 +Post‐expand include size: 35432/​2097152 bytes
 +Template argument size: 2297/​2097152 bytes
 +Highest expansion depth: 13/40
 +Expensive parser function count: 4/500
 +Unstrip recursion depth: 1/20
 +Unstrip post‐expand size: 24008/​5000000 bytes
 +Number of Wikibase entities loaded: 1/400
 +Lua time usage: 0.151/​10.000 seconds
 +Lua memory usage: 4.38 MB/50 MB
 +-->
 +<!--
 +Transclusion expansion time report (%,​ms,​calls,​template)
 +100.00% ​ 394.069 ​     1 -total
 + ​54.23% ​ 213.684 ​     1 Template:​Reflist
 + ​18.37% ​  ​72.399 ​     2 Template:​Cite_book
 + ​10.86% ​  ​42.799 ​     1 Template:​About
 + ​10.36% ​  ​40.829 ​     1 Template:​Refimprove
 +  9.82%   ​38.697 ​     3 Template:​Full_citation_needed
 +  8.56%   ​33.725 ​     3 Template:​Fix
 +  8.31%   ​32.729 ​     2 Template:​Cite_journal
 +  8.09%   ​31.890 ​     1 Template:​ISBN
 +  7.98%   ​31.437 ​     1 Template:​Ambox
 +-->
 +
 +<!-- Saved in parser cache with key enwiki:​pcache:​idhash:​1335-0!canonical!math=5 and timestamp 20181112063020 and revision id 868442299
 + ​-->​
 +</​div></​pre>​
 + </​HTML> ​
t-i-s-n-li-n-k-t-wikipedia.txt · Last modified: 2018/11/17 09:54 (external edit)