User Tools

Site Tools


t-l-wikipedia

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

t-l-wikipedia [2018/11/17 09:54] (current)
Line 1: Line 1:
 +<​HTML>​ <​br><​div><​div role="​note"​ class="​hatnote navigation-not-searchable">​ Đối với các tỷ lệ không có kích thước, xem Giá. </​div>​
  
 +<div role="​note"​ class="​hatnote navigation-not-searchable">​ &​quot;​là&​quot;​ chuyển hướng tại đây. Đối với việc xây dựng ngữ pháp, xem am. </​div>​
 +<div class="​thumb tright"><​div class="​thumbinner"​ style="​width:​222px;"><​img alt=""​ src="​http://​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​d/​de/​Aspect-ratio-4x3.svg/​220px-Aspect-ratio-4x3.svg.png"​ width="​220"​ height="​168"​ class="​thumbimage"​ srcset="//​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​d/​de/​Aspect-ratio-4x3.svg/​330px-Aspect-ratio-4x3.svg.png 1.5x, //​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​d/​de/​Aspect-ratio-4x3.svg/​440px-Aspect-ratio-4x3.svg.png 2x" data-file-width="​139"​ data-file-height="​106"/> ​ </​div></​div>​
 +<p> Trong toán học, tỷ lệ <b> </b> là một mối quan hệ giữa hai số cho biết số lần số đầu tiên chứa số thứ hai. <sup id="​cite_ref-1"​ class="​reference">​[1]</​sup> ​ Ví dụ, nếu một bát trái cây chứa tám quả cam và sáu trái chanh, sau đó tỷ lệ cam với chanh là tám đến sáu (tức là, 8: 6, tương đương với tỷ lệ 4: 3). Tương tự, tỷ lệ của chanh với cam là 6: 8 (hoặc 3: 4) và tỷ lệ cam với tổng số quả là 8:14 (hoặc 4: 7).
 +</​p><​p>​ Những con số trong một tỷ lệ có thể là số lượng của bất kỳ loại nào, chẳng hạn như số lượng người hoặc đối tượng, hoặc chẳng hạn như đo chiều dài, trọng lượng, thời gian, v.v. Trong hầu hết các ngữ cảnh, cả hai con số đều bị hạn chế là dương. không phải bằng không.
 +</​p><​p>​ Tỷ lệ có thể được xác định bằng cách cho cả hai số, được viết là &​quot;<​i>​ a </i> thành <i> b </​i>&​quot;​ hoặc &​quot;<​i>​ a </i>: <i> b </i> ] &quot;, hoặc chỉ đưa ra giá trị thương của họ <span class="​sfrac nowrap"​ style="​display:​inline-block;​ vertical-align:​-0.5em;​ font-size:​85%;​ text-align:​center;"><​span style="​display:​block;​ line-height:​1em;​ margin:0 0.1em;"><​i>​ a </​i></​span><​span class="​visualhide">​ / </​span><​span style="​display:​block;​ line-height:​1em;​ margin:0 0.1em; border-top:​1px solid;"><​i>​ b </​i></​span></​span><​sup id="​cite_ref-2"​ class="​reference">​[2]</​sup> ​ kể từ khi sản phẩm của thương và số thứ hai mang lại giá trị đầu tiên, theo yêu cầu của Định nghĩa.
 +</​p><​p>​ Do đó, một tỷ lệ có thể được coi là một cặp số thứ tự, như một phần nhỏ với số đầu tiên trong tử số và số thứ hai là mẫu số, hoặc là giá trị được biểu thị bởi phân số này. Tỷ số đếm, được cho bởi số tự nhiên (không khác), biểu thị số hữu tỷ tích cực và đôi khi có thể dẫn đến số tự nhiên.
 +</​p><​p>​ Khi hai đại lượng được đo bằng cùng một đơn vị, như thường lệ, tỷ lệ của chúng là một số không có thứ nguyên. Một thương lượng của hai đại lượng được đo với <i> các đơn vị </i> khác nhau được gọi là tỷ lệ. <sup id="​cite_ref-3"​ class="​reference">​[3]</​sup></​p>​
 +
 +
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Notation_and_terminology">​ Ký hiệu và thuật ngữ </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<p> Tỷ lệ số <i> A </i> và <i> B </i> có thể được biểu thị bằng: <sup id="​cite_ref-4"​ class="​reference">​[4]</​sup></​p>​
 +<​ul><​li>​ tỷ lệ <b> A </b> thành <b> B </​b></​li>​
 +<​li><​b>​ A </b> là <b> B </b> (<i> thường theo sau là &​quot;​as </i> C <i> là </i> D <​i>&​quot;​ </i>) </li>
 +<​li><​b>​ A∶B </​b></​li>​
 +<li> một phần với <b> A </b> như là tử số và <b> B </b> là mẫu số, đại diện cho thương: <b> A </b> chia cho <b> B </b>: <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle {tfrac {A}{B}}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mfrac><​mi>​ A </​mi><​mi>​ B </​mi></​mfrac></​mstyle></​mrow></​mstyle></​mrow>​ { displaystyle {  tfrac {A} {B}}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​df0284d6d3707f6972edd6b5797aa405b91080ad"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -1.171ex; width:​2.083ex;​ height:​3.676ex;"​ alt=" ​ tfrac {A} {B} "/></​span>​. Điều này có thể được biểu diễn dưới dạng đơn giản hoặc phần thập phân, hoặc theo phần trăm, vv <sup id="​cite_ref-5"​ class="​reference"><​a href="#​cite_note-5">​[5]</​sup></​li></​ul><​p>​ Các số <i> A </i> và <i> B </i> đôi khi được gọi là <i> các thuật ngữ tỷ lệ </i> với <i> </i> là <i> tiền đề </i> và <i> B </i> là <i> hậu quả </i>. <sup id="​cite_ref-6"​ class="​reference">​ [6] </​sup>​ </​p><​p>​ A tuyên bố thể hiện sự bình đẳng của hai tỷ lệ <i> A </i> ∶ <i> B </i> và <i> C </i> ∶ <i> D </i> được gọi là <b> tỷ lệ </​b><​sup class="​noprint Inline-Template Template-Fact"​ style="​white-space:​nowrap;">​ [[19659029] trích dẫn cần thiết </​span></​i>​] </​sup>​được viết là <i> A </i> ∶ <i> B </i> = <i> C </i> ∶ <i> D </i> hoặc <i> A </i> ∶ <i> B </i> :: <i> C </i> ∶ <i> D </i>. Dạng sau này, khi được nói hoặc viết bằng tiếng Anh, thường được biểu thị bằng
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ (<i> A </i> là <i> B </i>) là (<i> C </i> là <i> D </​i>​). </​dd></​dl><​p><​i>​ A </​i><​i>​ B </​i><​i>​ C </i> và <i> D </i> được gọi là các điều khoản của tỷ lệ. <i> </i> và <i> D </i> được gọi là <i> cực đoan </i> và <i> B </i> và <i> C </i> được gọi là <i> có nghĩa là <​i></​i>​. Tính bình đẳng của ba hoặc nhiều tỷ lệ, như <i> A </i> ∶ <i> B </i> = <i> C </i> ∶ <i> D </i> = <i> E </i> ∶ <i> F </​i>​được gọi là <b> tỷ lệ tiếp tục </b>. <sup id="​cite_ref-7"​ class="​reference">​ [7] </​sup>​ </​p><​p>​ Tỷ lệ đôi khi được sử dụng với ba hoặc nhiều thuật ngữ hơn, ví dụ: tỷ lệ cho độ dài cạnh của một &​quot;​hai của bốn&​quot;​ đó là dài mười inch là do đó
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle {text{thickness : width : length }}=2:​4:​10;​}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <​mtext>​ độ dày: chiều rộng: chiều dài </​mtext></​mrow><​mo>​ = </​mo><​mn>​ 2 </​mn><​mo>:​ </​mo><​mn>​ 4 [19659037]: </​mo><​mn>​ 10 </​mn><​mo>;​ </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle { text {độ dày: chiều rộng: chiều dài}} = 2: 4: 10;} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​70d292dcb1855d6edfdc4cfa81ec2ce283338cd8"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.671ex; width:​37.874ex;​ height:​2.509ex;"​ alt=" { displaystyle { text {độ dày: chiều rộng: chiều dài }} = 2: 4: 10;} "/></​span>​ </dd> </dl> <p> một hỗn hợp bê tông tốt (theo đơn vị thể tích) đôi khi được trích dẫn là
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle {text{cement : sand : gravel }}=1:​2:​4.}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <​mtext>​ xi măng: cát: sỏi </​mtext></​mrow><​mo>​ = </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>:​ </​mo><​mn>​ 2 [19659037]: </​mo><​mn>​ 4. </​mn></​mstyle></​mrow>​ { displaystyle { text {xi măng: cát: sỏi}} = 1: 2: 4.} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​a79e4fb8dc3a37a9bb0a7c7b8e06cac6cfaec187"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.671ex; width:​33.341ex;​ height:​2.509ex;"​ alt=" { displaystyle { text {xi măng: cát: sỏi}} = 1: 2: 4.} "/></​span>​ <sup id="​cite_ref-8"​ class="​reference">​ <a href="#​cite_note-8">​ [8] </​sup>​ </dd> </dl> <p> Cho hỗn hợp (thay khô) 4/1 phần thể tích xi măng thành nước, có thể nói tỷ lệ xi măng với nước là 4∶1, có lượng xi măng gấp 4 lần nước, hoặc có một phần tư (1/4) nước nhiều như xi măng.
 +</​p><​p>​ Ý nghĩa của tỷ lệ tỷ lệ như vậy với hơn hai cụm từ là tỷ số của bất kỳ hai cụm từ nào trong LHS tạo nên một tỷ lệ chuẩn với hai cụm từ tương ứng trên RHS. Các điều khoản tương ứng được gọi là <i> tương đồng </​i><​sup class="​noprint Inline-Template Template-Fact"​ style="​white-space:​nowrap;">​ [<​i><​span title="​This claim needs references to reliable sources. (May 2018)">​ trích dẫn cần thiết </​span></​i>​] </​sup>​ trong tỷ lệ.
 +</p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​History_and_etymology">​ Lịch sử và từ nguyên </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<p> Không thể theo dõi nguồn gốc của khái niệm <i> </i> vì các ý tưởng mà từ đó nó phát triển sẽ quen thuộc để bắt đầu các nền văn hóa. Ví dụ, ý tưởng về một ngôi làng lớn gấp hai lần một ngôi làng khác cơ bản đến nỗi nó đã được hiểu trong xã hội thời tiền sử. <sup id="​cite_ref-9"​ class="​reference">​[9]</​sup> ​ Tuy nhiên, có thể theo dõi nguồn gốc của từ &​quot;​tỷ lệ&​quot;​ đến tiếng Hy Lạp cổ đại <span lang="​grc"​ title="​Ancient Greek language text">​ λόγος </​span>​ (<i> biểu tượng </​i>​). Những người phiên dịch sớm kết xuất thành tiếng Latin là <​i><​i lang="​la"​ title="​Latin language text">​ </​i></​i> ​ (&​quot;​lý do&​quot;;​ như trong từ &​quot;​hợp lý&​quot;​). (Một con số hợp lý có thể được biểu diễn như là thương của hai số nguyên.) Một giải thích hiện đại hơn về ý nghĩa của Euclid là giống như tính toán hoặc tính toán. <sup id="​cite_ref-10"​ class="​reference">​[10]</​sup> ​ Các nhà văn thời Trung cổ sử dụng từ <​i><​i lang="​la"​ title="​Latin language text">​ tỷ lệ </​i></​i> ​ (&​quot;​tỷ lệ&​quot;​) để chỉ ra tỷ lệ và <​i><​i lang="​la"​ title="​Latin language text">​ tỷ lệ thuận </​i></​i> ​ (&​quot;​tỷ lệ&​quot;​) cho sự bình đẳng của các tỷ lệ. <sup id="​cite_ref-11"​ class="​reference">​ [11] </​sup>​ </​p><​p>​ Euclid thu thập các kết quả xuất hiện trong các yếu tố từ các nguồn trước đó. Pythagoreans đã phát triển một lý thuyết về tỷ lệ và tỷ lệ như được áp dụng cho các con số. <sup id="​cite_ref-12"​ class="​reference">​[12]</​sup> ​ Khái niệm về số lượng của Pythagoreans chỉ bao gồm những gì ngày nay được gọi là số hữu tỉ, nghi ngờ về tính hợp lệ của lý thuyết trong hình học. , tỷ lệ không thể đo lường (tương ứng với số không hợp lý) tồn tại. Việc phát hiện ra một lý thuyết về các tỷ lệ không cho rằng khả năng tương thích có lẽ là do Eudoxus của Cnidus. Việc trình bày lý thuyết tỷ lệ xuất hiện trong Sách VII của The Elements phản ánh lý thuyết tỷ lệ của commensurables trước đó <sup id="​cite_ref-13"​ class="​reference">​ [13] </​sup>​ </​p><​p>​ Sự tồn tại của nhiều lý thuyết dường như phức tạp không cần thiết đối với tính nhạy cảm hiện đại. , ở một mức độ lớn, được xác định bằng các quotients. Đây là một sự phát triển tương đối gần đây tuy nhiên, như có thể được nhìn thấy từ thực tế là sách giáo khoa hình học hiện đại vẫn sử dụng thuật ngữ và ký hiệu riêng biệt cho tỷ lệ và quotients. Những lý do cho điều này là gấp đôi. Đầu tiên, đã có sự miễn cưỡng được đề cập trước đây để chấp nhận số vô tỉ là số thực. Thứ hai, việc thiếu một biểu tượng được sử dụng rộng rãi để thay thế các thuật ngữ đã được thiết lập đã trì hoãn việc chấp nhận đầy đủ các phân số thay thế cho đến thế kỷ 16. <sup id="​cite_ref-14"​ class="​reference">​[14]</​sup></​p>​
 +<​h3><​span id="​Euclid.27s_definitions"/><​span class="​mw-headline"​ id="​Euclid'​s_definitions">​ Các định nghĩa của Euclid </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h3>​
 +<p> Book V của Euclid&#​39;​s Elements có 18 định nghĩa, tất cả đều liên quan đến tỷ lệ. <sup id="​cite_ref-15"​ class="​reference">​[15]</​sup> ​ Ngoài ra, Euclid sử dụng những ý tưởng được sử dụng phổ biến như vậy mà anh ta không bao gồm các định nghĩa cho chúng. Hai định nghĩa đầu tiên nói rằng một phần <i> </i> của một đại lượng là một đại lượng khác &​quot;​đo&​quot;​ nó và ngược lại, một <i> nhiều </i> của một đại lượng là một đại lượng khác mà nó đo lường. Trong thuật ngữ hiện đại, điều này có nghĩa là bội số của đại lượng là đại lượng nhân với số nguyên lớn hơn một - và một phần của đại lượng (nghĩa là phần số) là một phần, khi nhân với số nguyên lớn hơn một, cho số lượng.
 +</​p><​p>​ Euclid không định nghĩa thuật ngữ &​quot;​đo lường&​quot;​ như được sử dụng ở đây, Tuy nhiên, người ta có thể suy ra rằng nếu một đại lượng được lấy làm đơn vị đo lường, và số thứ hai được cho là số nguyên của các đơn vị này, thì số lượng <i> các biện pháp </i> thứ hai. Lưu ý rằng các định nghĩa này được lặp đi lặp lại, gần như từng từ, như định nghĩa 3 và 5 trong sách VII.
 +</​p><​p>​ Định nghĩa 3 mô tả tỷ lệ là một cách tổng quát. Nó không phải là nghiêm ngặt trong một ý nghĩa toán học và một số đã gán nó cho các biên tập viên của Euclid chứ không phải là Euclid. <sup id="​cite_ref-16"​ class="​reference">​[16]</​sup> ​ Euclid định nghĩa một tỷ lệ giữa hai đại lượng <i> cùng loại </​i>​do đó theo định nghĩa này tỷ lệ hai chiều dài hoặc hai khu vực được xác định, nhưng không phải là tỷ lệ chiều dài và diện tích. Định nghĩa 4 làm cho điều này nghiêm ngặt hơn. Nó nói rằng một tỷ lệ của hai số lượng tồn tại khi có nhiều bội số vượt quá số lượng khác. Trong ký hiệu hiện đại, tỷ lệ tồn tại giữa các đại lượng <i> p </i> và <i> q </i> nếu có số nguyên <i> m </i> và <i> n </i> sao cho <i> mp </​i>&​gt;​ <i> q </i> và <i> nq </​i>&​gt;​ <i> p </i>. Tình trạng này được gọi là tài sản Archimedes.
 +</​p><​p>​ Định nghĩa 5 là phức tạp và khó khăn nhất. Nó định nghĩa ý nghĩa của hai tỷ lệ này bằng nhau. Hôm nay, điều này có thể được thực hiện bằng cách chỉ ra rằng tỷ lệ bằng nhau khi các thuật ngữ của các thuật ngữ bằng nhau, nhưng Euclid không chấp nhận sự tồn tại của các quotients không tương thích, do đó, một định nghĩa như vậy sẽ là vô nghĩa với anh ta. Do đó, một định nghĩa tinh tế hơn là cần thiết khi số lượng liên quan không được đo trực tiếp với nhau. Mặc dù không thể gán giá trị hợp lý cho một tỷ lệ, nhưng có thể so sánh tỷ lệ với một số hợp lý. Cụ thể, với hai số lượng, <i> p </i> và <i> q </​i>​và số hợp lý <i> m </i> / <i> n </i> chúng ta có thể nói tỷ lệ <i> ] p </i> đến <i> q </i> nhỏ hơn, bằng hoặc lớn hơn <i> m </i> / <i> n </i> khi <i> np </i> nhỏ hơn, tương đương hoặc lớn hơn <i> mq </i> tương ứng. Định nghĩa bình đẳng của Euclid có thể được biểu thị khi hai tỷ lệ này bằng nhau khi chúng hoạt động giống hệt nhau, nhỏ hơn, bằng hoặc lớn hơn bất kỳ số hữu tỷ nào. Trong ký hiệu hiện đại, điều này nói rằng số lượng đã cho <i> p </​i><​i>​ q </​i><​i>​ r </i> và <i> s </​i>​sau đó <i> p </i>: <i> q </i> :: <i> r </i>: <i> s </i> nếu cho bất kỳ số nguyên dương nào <i> m </i> và <i> n </​i><​i>​ np </i> ] &​lt;<​i>​ mq </​i><​i>​ np </i> = <i> mq </​i><​i>​ np </​i>&​gt;​ <i> mq </i> theo <i> nr </i> &​lt;<​i>​ ms </​i><​i>​ nr </i> = <i> ms </​i><​i>​ nr </​i>&​gt;​ <i> ms </i> tương ứng. Có một sự tương đồng đáng chú ý giữa định nghĩa này và lý thuyết về việc cắt giảm Dedekind được sử dụng trong định nghĩa hiện đại về các số vô tỉ. <sup id="​cite_ref-17"​ class="​reference">​ [17] </​sup>​ </​p><​p>​ Định nghĩa 6 nói rằng số lượng có cùng tỷ lệ là <i> </i> hoặc <i> theo tỷ lệ </i>. Euclid sử dụng tiếng Hy Lạp (ναλόγον (analogon), điều này có cùng gốc với λόγος và có liên quan đến từ tiếng Anh &​quot;​analog&​quot;​.
 +</​p><​p>​ Định nghĩa 7 định nghĩa ý nghĩa của nó đối với một tỷ lệ nhỏ hơn hoặc lớn hơn và dựa trên ý tưởng có trong định nghĩa 5. Trong ký hiệu hiện đại, nó cho biết số lượng đã cho <i> p </​i><​i>​ q </​i><​i>​ r </i> và <i> s </​i>​sau đó <i> p </i>: <i> q </​i>&​gt;​ <i> r </i>: <i> s </i> nếu có số nguyên dương <i> m </i> và <i> n </i> sao cho <i> np </​i>&​gt;​ <i> mq </i> và <i> nr </i> ≤ <i> mili giây </i>.
 +</​p><​p>​ Như với định nghĩa 3, định nghĩa 8 được một số người coi là một sự chèn sau bởi các biên tập viên của Euclid. Nó định nghĩa ba thuật ngữ <i> p </​i><​i>​ q </i> và <i> r </i> để được tỷ lệ khi <i> p </i>: <i> q </i> :: <i> q </i>: <i> r </i>. Điều này được mở rộng thành 4 thuật ngữ <i> p </​i><​i>​ q </​i><​i>​ r </i> và <i> s </i> là <i> p </i>: <i> q </i> :: <i> q </i>: <i> r </i> :: <i> r </i>: <i> s </​i>​v.v. Các chuỗi có thuộc tính mà tỷ số của các số hạng liên tiếp bằng nhau được gọi là các tiến trình hình học. Định nghĩa 9 và 10 áp dụng điều này, nói rằng nếu <i> p </​i><​i>​ q </i> và <i> r </i> là tỷ lệ thì <i> p </i>: <i> r </i> là <i> tỷ lệ trùng lặp </i> của <i> p </i>: <i> q </i> và nếu <i> p </​i><​i>​ q </​i><​i>​ r </i> và <i> s </i> là tỷ lệ sau đó <i> p </i>: <i> s </i> là <i> tỷ lệ ba lần </i> của <i> p </i>: <i> q </i>. Nếu <i> p </​i><​i>​ q </i> và <i> r </i> là tỷ lệ thì <i> q </i> được gọi là <i> có nghĩa là tỷ lệ </i> đến (hoặc trung bình hình học) <i> p </i> và <i> r </i>. Tương tự, nếu <i> p </​i><​i>​ q </​i><​i>​ r </i> và <i> s </i> là tỷ lệ sau đó <i> q </i> và <i> r </i> được gọi là hai tỷ lệ trung bình <i> p </i> và <i> s </i>.
 +</p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Number_of_terms_and_use_of_fractions">​ Số lượng cụm từ và cách sử dụng phân số </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<p> Nhìn chung, so sánh số lượng của một tỷ lệ hai thực thể có thể được biểu diễn dưới dạng một phần được tính từ tỷ lệ. Ví dụ: theo tỷ lệ 2: 3, số lượng, kích thước, khối lượng hoặc số lượng của thực thể thứ nhất là <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle {tfrac {2}{3}}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mfrac><​mn>​ 2 </​mn><​mn>​ 3 </​mn></​mfrac></​mstyle></​mrow></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle { tfrac {2} {3}}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​571a6ce6d697175e9e5e723b8c40eaa7efcfeaca"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -1.338ex; width:​1.658ex;​ height:​3.676ex;"​ alt=" { tfrac {2} {3}} "/></​span>​ của pháp nhân thứ hai.
 +</​p><​p>​ Nếu có 2 quả cam và 3 quả táo, tỷ lệ cam với táo là 2: 3 và tỷ lệ cam với tổng số quả là 2: 5. Các tỷ lệ này cũng có thể được thể hiện dưới dạng phân số: có 2/3 là nhiều cam như táo, và 2/5 miếng trái cây là cam. Nếu nước ép cam đậm đặc được pha loãng với nước theo tỉ lệ 1: 4, thì một phần cô đặc được trộn với bốn phần nước, cho năm phần tổng số; lượng nước cam đậm đặc là 1/4 lượng nước, trong khi lượng nước cam đậm đặc là 1/5 tổng lượng chất lỏng. Trong cả hai tỷ lệ và phân số, điều quan trọng là phải rõ ràng những gì đang được so sánh với những gì, và người mới bắt đầu thường phạm sai lầm vì lý do này.
 +</​p><​p>​ Phân số cũng có thể được suy ra từ các tỷ lệ với hơn hai thực thể; tuy nhiên, một tỷ lệ với nhiều hơn hai thực thể không thể được chuyển đổi hoàn toàn thành một phần duy nhất, bởi vì một phần nhỏ chỉ có thể so sánh hai đại lượng. Một phần riêng biệt có thể được sử dụng để so sánh số lượng của bất kỳ hai thực thể nào được bao phủ bởi tỷ lệ: ví dụ, từ tỷ lệ 2: 3: 7 chúng ta có thể suy ra rằng số lượng của thực thể thứ hai là <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle {tfrac {3}{7}}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mfrac><​mn>​ 3 [19659088] 7 </​mn></​mfrac></​mstyle></​mrow></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle { tfrac {3} {7}}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​15f2b824decf224d9a3143d4271666c7fba7ac83"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -1.338ex; width:​1.658ex;​ height:​3.676ex;"​ alt=" { tfrac {3} {7}} "/></​span>​ thuộc pháp nhân thứ ba.
 +</p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Proportions_and_percentage_ratios">​ Tỷ lệ và tỷ lệ phần trăm </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<p> Nếu chúng ta nhân tất cả các đại lượng có liên quan đến tỷ lệ bằng cùng một số, tỷ lệ vẫn hợp lệ. Ví dụ: tỷ lệ 3: 2 giống với tỷ lệ 12: 8. Nó là bình thường hoặc để giảm các điều khoản xuống mẫu số chung thấp nhất, hoặc để thể hiện chúng trong phần trăm (phần trăm).
 +</​p><​p>​ Nếu hỗn hợp chứa các chất A, B, C và D theo tỉ lệ 5: 9: 4: 2 thì có 5 phần A cho mỗi 9 phần B, 4 phần C và 2 phần của D. 5 + 9 + 4 + 2 = 20, tổng hỗn hợp chứa 5/20 của A (5 phần trong số 20), 9/20 của B, 4/20 của C và 2/20 của D. Nếu chúng ta chia tất cả bằng tổng số và nhân với 100, chúng tôi đã chuyển đổi thành phần trăm: 25% A, 45% B, 20% C và 10% D (tương đương với tỷ lệ viết là 25: 45: 20: 10).
 +</​p><​p>​ Nếu hai hoặc nhiều hơn số lượng tỷ lệ bao gồm tất cả các đại lượng trong một tình huống cụ thể, người ta nói rằng &​quot;​toàn bộ&​quot;​ chứa tổng các phần: ví dụ, một giỏ trái cây có chứa hai quả táo và ba quả cam và không có quả được tạo thành từ hai phần táo và ba phần cam. Trong trường hợp này, <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle {tfrac {2}{5}}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mfrac><​mn>​ 2 </​mn><​mn>​ 5 </​mn></​mfrac></​mstyle></​mrow></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle { tfrac {2} {5}}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​edb22be2c480d6bb96c97cc2b6a1a796f8396489"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -1.338ex; width:​1.658ex;​ height:​3.676ex;"​ alt=" { tfrac {2} {5}} "/></​span>​ hoặc 40% toàn bộ là táo và <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle {tfrac {3}{5}}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mfrac><​mn>​ 3 </​mn><​mn>​ 5 </​mn></​mfrac></​mstyle></​mrow></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle { tfrac {3} {5}}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​37f5356bc6141848e00fa630e4e1443f5d6fd2d4"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -1.338ex; width:​1.658ex;​ height:​3.676ex;"​ alt=" ​ tfrac {3} {5} "/></​span>​ hoặc 60% toàn bộ là cam. So sánh này của một đại lượng cụ thể cho &​quot;​toàn thể&​quot;​ được gọi là tỷ lệ.
 +</​p><​p>​ Nếu tỷ lệ chỉ bao gồm hai giá trị, nó có thể được biểu diễn dưới dạng phân số, cụ thể là phần thập phân. Ví dụ, TV cũ có tỷ lệ khung hình 4: 3 <i> </​i>​có nghĩa là chiều rộng là 4/3 chiều cao (điều này cũng có thể được biểu thị bằng 1,33: 1 hoặc chỉ 1,33 được làm tròn đến hai chữ số thập phân) . TV màn ảnh rộng hiện đại có tỷ lệ khung hình 16: 9 hoặc 1,78 được làm tròn thành hai chữ số thập phân. Một trong những định dạng phim màn ảnh rộng phổ biến là 2.35: 1 hoặc đơn giản là 2.35. Tỷ lệ biểu thị dưới dạng phân số thập phân giúp đơn giản hóa so sánh của chúng. Khi so sánh 1,33, 1,78 và 2,35, rõ ràng định dạng nào cung cấp hình ảnh rộng hơn. So sánh như vậy chỉ hoạt động khi các giá trị được so sánh là nhất quán, như luôn thể hiện chiều rộng liên quan đến chiều cao.
 +</p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Reduction">​ Giảm </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<p> Tỷ lệ có thể được giảm (dưới dạng phân số) bằng cách chia từng số lượng cho các yếu tố chung của tất cả các đại lượng. Đối với các phân số, dạng đơn giản nhất được coi là trong đó các số trong tỷ lệ là các số nguyên nhỏ nhất có thể.
 +</​p><​p>​ Như vậy, tỷ lệ 40:60 tương đương với tỷ lệ 2: 3, cái thứ hai thu được từ cái trước bằng cách chia cả hai đại lượng cho 20. Bằng toán học, chúng ta viết 40:60 = 2: 3, hoặc tương đương 40 : 60 :: 2: 3. Tương đương bằng lời là &​quot;​40 đến 60 là 2 là 3.&​quot;​
 +</​p><​p>​ Tỷ lệ có số nguyên cho cả hai đại lượng và không thể giảm thêm nữa (sử dụng số nguyên) được cho là ở dạng đơn giản nhất hoặc các thuật ngữ thấp nhất.
 +</​p><​p>​ Đôi khi, việc viết tỷ lệ theo dạng 1: <i> x </i> hoặc <i> x </i>: 1, trong đó <i> x </i> không nhất thiết phải là số nguyên, để bật so sánh các tỷ lệ khác nhau. Ví dụ, tỷ lệ 4: 5 có thể được viết là 1: 1.25 (chia cả hai cạnh bằng 4) Cách khác, nó có thể được viết là 0,8: 1 (chia cả hai cạnh 5).
 +</​p><​p>​ Trường hợp bối cảnh làm cho ý nghĩa rõ ràng, một tỷ lệ trong hình thức này đôi khi được viết mà không có 1 và dấu hai chấm, mặc dù, toán học, điều này làm cho nó một yếu tố hoặc nhân.
 +</p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Irrational_ratios">​ Tỷ lệ thủy </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<p> Tỷ lệ cũng có thể được thiết lập giữa các đại lượng không thể đo lường (số lượng có tỷ lệ, dưới dạng giá trị của một phân số, với số không hợp lý). Ví dụ được phát hiện sớm nhất, được tìm thấy bởi Pythagoreans,​ là tỷ lệ chiều dài của đường chéo <span class="​texhtml mvar" style="​font-style:​italic;">​ d </​span>​ với chiều dài của một cạnh <span class="​texhtml mvar" style="​font-style:​italic;">​ s </​span>​ của một hình vuông, là căn bậc hai của 2 , chính thức <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle a:d=1:{sqrt {2}}.}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ a </​mi><​mo>:​ </​mo><​mi>​ d </​mi><​mo>​ = </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>:​ </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​msqrt><​mn>​ 2 </​mn></​msqrt></​mrow><​mo>​. </​mo></​mstyle></​mrow>​ { displaystyle a: d = 1: { sqrt { 2}}.} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​36c9c8b0787fffe4bb3a27294785bcc7548b36cf"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.671ex; width:​14.326ex;​ height:​3.009ex;"​ alt=" { displaystyle a: d = 1: { sqrt {2}}.} "/></​span>​ Ví dụ khác là tỷ lệ chu vi vòng tròn của <a href="​http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Circle"​ title="​Circle">​ với đường kính của nó, được gọi là <span class="​texhtml">​ </​span>​và không chỉ là một số không hợp lý đại số, mà còn là một sự vô lý siêu việt.
 +</​p><​p>​ Cũng nổi tiếng là tỷ lệ vàng của hai (chủ yếu) độ dài <span class="​texhtml mvar" style="​font-style:​italic;">​ a </​span>​ và <span class="​texhtml mvar" style="​font-style:​italic;">​ b </​span>​được xác định bởi tỷ lệ
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle a:​b=(a+b):​aquad }"> <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mi> a </​mi><​mo>:​ </​mo><​mi>​ b </​mi><​mo>​ = </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ a </​mi><​mo>​ + [19659127] b </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>:​ </​mo><​mi>​ a </​mi><​mspace width="​1em"/></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle a: b = (a + b): a  quad} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​3b46ef8cf589510b404c696927c27d59f56e5dd8"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​19.63ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle a: b = (a + b) : a  quad} "/></​span>​ hoặc tương đương <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle quad a:​b=(1+b/​a):​1.}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mspace width="​1em"/><​mi>​ a </​mi><​mo>:​ </​mo><​mi>​ b </​mi><​mo>​ = </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mi>​ b </​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>​ / </​mo></​mrow><​mi>​ a </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>:​ </​mo><​mn>​ 1. </​mn></​mstyle></​mrow>​ <​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ​ quad a: b = (1 + b / a): 1.} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​9f17c19eee996c2ff03cbbbe62bcff2071f3b3d7"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​22.534ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle ​ quad a: b = (1 + b / a): 1.} "/></​span>​ </dd> </dl> <p> Lấy tỷ lệ như phân số và <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle a:​b}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ a </​mi><​mo>:​ </​mo><​mi>​ b </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle a : b} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​3149b4f815ad9e8b3e8cdd29adcd02a42c22e5ad"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​4.165ex;​ height:​2.176ex;"​ alt=" { displaystyle a: b} "/></​span>​ có giá trị <span class="​texhtml mvar" style="​font-style:​italic;">​ x </​span>​cho ra phương trình
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle x=1+{tfrac {1}{x}}quad }"> <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mi> x </​mi><​mo>​ = </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mfrac><​mn>​ 1 </​mn><​mi>​ x </​mi></​mfrac></​mstyle></​mrow><​mspace width="​1em"/></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle x = 1 + { tfrac {1} {x}}  quad} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​eed756207f6c598df128a9827b01860dfa995038"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -1.005ex; width:​12.53ex;​ height:​3.343ex;"​ alt=" { displaystyle x = 1 + { tfrac {1} {x}}  quad} "/></​span>​ hoặc <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle quad x^{2}-x-1=0,​}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mspace width="​1em"/><​msup><​mi>​ x [19659183] <!-- − --> </​mo><​mi>​ x </​mi><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ = </​mo><​mn>​ 0 </​mn><​mo></​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ​ quad x ^ {2} -x-1 = 0,} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​fd5a7006359da449fd255ba18fcb5399f51316e9"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.671ex; width:​17.787ex;​ height:​3.009ex;"​ alt=" { displaystyle ​ quad x ^ {2} -x-1 = 0,} "/></​span>​ </dd> </dl> <p> có giải pháp tích cực, không hợp lý [19659194] x </​mi><​mo>​ = </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mfrac><​mi>​ a </​mi><​mi>​ b </​mi></​mfrac></​mstyle></​mrow><​mo>​ = </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mfrac><​mrow><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​msqrt><​mn>​ 5 </​mn></​msqrt></​mrow></​mrow><​mn>​ 2 </​mn></​mfrac></​mstyle></​mrow><​mo>​. </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle x = { tfrac { a} {b}} = { tfrac {1 + { sqrt {5}}} {2}}.} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​594d6a70808bd6407eae75b9bfc96a9098dd8c6b"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -1.338ex; width:​15.007ex;​ height:​4.343ex;"​ alt=" { displaystyle x = { tfrac {a} {b}} = { tfrac { 1 + { sqrt {5}}} {2}}.} "/></​span>​
 +Do đó, ít nhất một trong số <i> một </i> và <i> b </i> phải là không hợp lý để chúng có tỷ lệ vàng. Một ví dụ về sự xuất hiện của tỷ lệ vàng trong toán học là giá trị giới hạn của tỷ số của hai số Fibonacci liên tiếp: mặc dù tất cả các tỷ lệ này là hai tỷ số và do đó là hợp lý, giới hạn của chuỗi các tỷ lệ hợp lý này là tỷ lệ vàng không hợp lý.
 +</​p><​p>​ Tương tự, tỷ lệ bạc của <span class="​texhtml mvar" style="​font-style:​italic;">​ a </​span>​ và <span class="​texhtml mvar" style="​font-style:​italic;">​ b </​span>​ được xác định bởi tỷ lệ
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ <span class="​mwe-math-element">​ <span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;">​ <math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle a:​b=(2a+b):​aquad (=(2+b/​a):​1),​}">​ <​semantics>​ <mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD">​ <mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0">​ <mi> a </​mi><​mo>:​ </​mo><​mi>​ b </​mi><​mo>​ = </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 2 </​mn><​mi>​ a [19659126] + </​mo><​mi>​ b </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>:​ </​mo><​mi>​ a </​mi><​mspace width="​1em"/><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mo>​ = </​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 2 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mi>​ b </​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>​ / </​mo></​mrow><​mi>​ a </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>:​ </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo></​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle a: b = (2a + b): a  quad (= (2 + b / a): 1),} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​329f5e036d9784c487b86facd67babb955d06a67"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​38.003ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle a: b = (2a + b): a  quad (= (2 + b / a): 1),} "/></​span>​ tương ứng với <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle x^{2}-2x-1=0.}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​msup><​mi>​ x </​mi><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mn>​ 2 </​mn></​mrow></​msup><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 2 </​mn><​mi>​ x </​mi><​mo>​ - <!-- − --> </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ = </​mo><​mn>​ 0. </​mn></​mstyle></​mrow>​ <​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle x ^ {2} - 2x-1 = 0.} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​366b8357e27139666cdd6f9bb5df8c14d6fa6bda"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.505ex; width:​16.627ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" { displaystyle x ^ {2} -2x-1 = 0.} "/></​span>​ </dd> </dl> <p> Phương trình này có giải pháp tích cực, không hợp lý <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle x={tfrac {a}{b}}=1+{sqrt {2}},​}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ x </​mi><​mo>​ = </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​false"​ scriptlevel="​0"><​mfrac><​mi>​ a </​mi><​mi>​ b </​mi></​mfrac></​mstyle></​mrow><​mo>​ = </​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo>​ + </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​msqrt><​mn>​ 2 </​mn></​msqrt></​mrow><​mo></​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle x = { tfrac {a} {b}} = 1 + { sqrt {2}},} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​e653692eafd97589466bdc8a8ce6e5a2680193d4"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -1.338ex; width:​16.98ex;​ height:​3.676ex;"​ alt=" { displaystyle x = { tfrac {a} {b}} = 1 + { sqrt {2}},} "/></​span>​ vì vậy một lần nữa ít nhất một trong hai đại lượng <i> </i> và <i> b </i> theo tỷ lệ bạc phải là không hợp lý.
 +</p>
 +
 +
 +<​p><​i>​ Tỷ lệ cá cược </i> (như trong cờ bạc) được thể hiện dưới dạng tỷ lệ. Ví dụ, tỷ lệ cược của &quot;7 đến 3 chống lại&​quot;​ (7: 3) có nghĩa là có bảy cơ hội mà sự kiện sẽ không xảy ra cho mỗi ba cơ hội mà nó sẽ xảy ra. Xác suất thành công là 30%. Trong mỗi mười thử nghiệm, dự kiến ​​sẽ có ba chiến thắng và bảy thua lỗ.
 +</p>
 +
 +<p> Tỷ lệ có thể không có đơn vị, như trong trường hợp chúng liên hệ với đại lượng trong các đơn vị có cùng kích thước, ngay cả khi đơn vị đo lường của chúng ban đầu khác nhau.
 +Ví dụ: tỷ lệ 1 phút: 40 giây có thể được giảm bằng cách thay đổi giá trị đầu tiên thành 60 giây. Một khi các đơn vị giống nhau, chúng có thể được bỏ qua và tỷ lệ có thể được giảm xuống còn 3: 2.
 +</​p><​p>​ Mặt khác, có tỷ lệ không kích thước, còn được gọi là tỷ lệ. <sup id="​cite_ref-18"​ class="​reference">​[18]</​sup><​sup id="​cite_ref-19"​ class="​reference">​[19]</​sup>​
 + Trong hóa học, tỷ lệ nồng độ khối lượng thường được biểu thị dưới dạng phân số khối lượng / thể tích.
 +Ví dụ, nồng độ 3% w / v thường có nghĩa là 3 g chất trong mỗi 100 mL dung dịch. Điều này không thể được chuyển đổi thành một tỷ lệ không có kích thước, như trong trọng lượng / trọng lượng hoặc khối lượng thể tích / khối lượng.
 +</p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Triangular_coordinates">​ Tọa độ tam giác </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<p> Vị trí các điểm liên quan đến tam giác có đỉnh <i> A </​i><​i>​ B </i> và <i> C </i> và các bên <i> AB </​i><​i>​ BC </i> và <i> CA </i> thường được thể hiện dưới dạng tỷ lệ mở rộng là <i> tọa độ tam giác </i>.
 +</​p><​p>​ Trong tọa độ barycentric,​ một điểm có tọa độ <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle alpha :beta :gamma }"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ α <!-- α --> </​mi><​mo>:​ </​mo><​mi>​ β <!-- β --> </​mi><​mo>:​ </​mo><​mi>​ γ <!-- γ --> </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ​ alpha: ​ beta:  gamma} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​cdeb88b91752ebc42398e577d5455edc63aab124"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​7.956ex;​ height:​2.676ex;"​ alt=" ​ alpha: ​ beta:  gamma "/></​span>​ là điểm mà một tấm kim loại không trọng lượng trong hình dạng và kích thước của hình tam giác sẽ cân bằng chính xác nếu trọng số được đặt trên các đỉnh, với tỷ lệ của các trọng số tại <i> A </i> và <i> B </i> là <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle alpha :beta ,​}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ α <!-- α --> </​mi><​mo>:​ </​mo><​mi>​ β <!-- β --> </​mi><​mo></​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ​ alpha: ​ beta,} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​b9e1c30e8056f6b062d8c71c521b531cfdb3df9c"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.671ex; width:​5.404ex;​ height:​2.509ex;"​ alt=" ​ alpha: ​ beta, "/></​span>​ tỷ số của trọng số tại <i> B </i> và <i> C </i> là <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle beta :gamma ,​}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ β <!-- β --> </​mi><​mo>​ : </​mo><​mi>​ γ <!-- γ --> </​mi><​mo></​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ​ beta:  gamma,} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​de4567c1426910a43be4eef0c7a2a53d6ac00f17"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​5.178ex;​ height:​2.676ex;"​ alt=" ​ beta:  gamma, "/></​span>​ và do đó tỷ lệ trọng số tại <i> A </i> và <i> C </i> là <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle alpha :gamma .}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ α <!-- α --> </​mi><​mo>:​ </​mo><​mi>​ γ <!-- γ --> [19659126]. </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ​ alpha: ​ gamma.} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​ea15a8c8d775059d94b873d0d159fc361a172a4f"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​5.334ex;​ height:​2.176ex;"​ alt=" ​ alpha: ​ gamma. "/></​span>​
 +</​p><​p>​ Trong các tọa độ tam tuyến, một điểm có tọa độ <i> x: y: z </i> có khoảng cách vuông góc với cạnh <i> BC </i> (ngang từ đỉnh <i> A </i>) và bên <i> ] CA </i> (qua từ đỉnh <i> B </i>) theo tỷ lệ <i> x: y </​i>​khoảng cách đến cạnh <i> CA </i> và bên <i> AB </i> ( từ <i> C </i>) theo tỷ lệ <i> y: z </i> và do đó khoảng cách đến hai bên <i> BC </i> và <i> AB </i> theo tỷ lệ <i> x : z </i>.
 +</​p><​p>​ Vì tất cả thông tin được biểu thị theo tỷ lệ (các số riêng biệt được biểu thị bằng <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle alpha ,beta ,gamma ,​}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ α <!-- α --> </​mi><​mo></​mo><​mi>​ β <!-- β --> </​mi><​mo></​mo><​mi>​ γ <!-- γ --> </​mi><​mo>​ , </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ​ alpha, ​ beta,  gamma,} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​0fb0a6728625f4452d40f4dd63031fab54b23fa5"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​6.797ex;​ height:​2.676ex;"​ alt=" ​ alpha, ​ beta,  gamma, "/></​span>​ <i> x, y, </i> và <i> z </i> không có ý nghĩa của bản thân), một phân tích tam giác sử dụng tọa độ barycentric hoặc trilinear áp dụng bất kể kích thước của tam giác.
 +</p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​See_also">​ Xem thêm </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​References">​ Tham khảo </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<div class="​reflist columns references-column-width"​ style="​-moz-column-width:​ 30em; -webkit-column-width:​ 30em; column-width:​ 30em; list-style-type:​ decimal;">​
 +<ol class="​references"><​li id="​cite_note-1"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Penny Cyclopedia, tr. 307 </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-2"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Bách khoa toàn thư mới </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-3"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ <i> &​quot;​Thương số của hai số (hoặc số lượng), kích thước tương đối của hai số (hoặc số lượng)&​quot;​ </​i>&​quot;​Toán học Từ điển &​quot;​[1]</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-4"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Bách khoa toàn thư mới </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-5"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Phân số thập phân thường được sử dụng trong các lĩnh vực công nghệ khi so sánh tỷ lệ là quan trọng, chẳng hạn như tỷ lệ khung hình (hình ảnh), tỷ lệ nén (động cơ hoặc lưu trữ dữ liệu), vv </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-6"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ từ Bách khoa toàn thư Britannica </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-7"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Bách khoa toàn thư quốc tế mới </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-8"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Nhóm gợi ý trộn bê tông Belle </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-9"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Smith, tr. 477 </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-10"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Penny Cyclopedia, trang. 307 </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-11"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Smith, trang. 478 </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-12"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Heath, trang. 112 </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-13"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Heath, trang. 113 </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-14"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Smith, trang. 480 </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-15"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Heath, tham chiếu cho phần </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-16"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ &​quot;​Hình học, Euclide&​quot;​ <i> Bách khoa toàn thư Britannica phiên bản thứ mười một </i> p682. </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-17"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ Heath p. 125 </​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-18"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ <i> &​quot;&#​39;​Tốc độ&#​39;​ có thể được định nghĩa là tỷ lệ ... &#​39;​Mật độ dân số&#​39;​ là tỷ số ... &#​39;​Mức tiêu thụ xăng&#​39;​ được đo lường bằng tỷ số ...&​quot;​ </i> , &​quot;​Tỷ lệ và tỷ lệ: Nghiên cứu và giảng dạy trong giáo viên toán học&​quot;​ [2]</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-19"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​ ^ </​b></​span>​ <span class="​reference-text">​ <i> &​quot;</​i>​ Tỷ lệ như một tỷ lệ <i>. Kiểu đầu tiên [of ratio] được định nghĩa bởi Freudenthal,​ ở trên, được gọi là (...) Một tỷ lệ của loại này tạo ra một khái niệm duy nhất, mới với thực thể riêng của nó, và khái niệm mới này thường không được coi là một tỷ lệ, mỗi lần, nhưng một tỷ lệ hoặc tỷ trọng. &​quot;</​i>,&​quot;​ Tỷ lệ và tỷ lệ: Nghiên cứu và giảng dạy trong giáo viên toán học &​quot;​[3]</​span>​
 +</li>
 +</​ol></​div>​
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Further_reading">​ Đọc thêm </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​External_links">​ External links </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<table role="​presentation"​ class="​mbox-small plainlinks sistersitebox"​ style="​background-color:#​f9f9f9;​border:​1px solid #​aaa;​color:#​000"><​tbody><​tr><​td class="​mbox-image"><​img alt=""​ src="​http://​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​9/​99/​Wiktionary-logo-en-v2.svg/​40px-Wiktionary-logo-en-v2.svg.png"​ width="​40"​ height="​40"​ class="​noviewer"​ srcset="//​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​9/​99/​Wiktionary-logo-en-v2.svg/​60px-Wiktionary-logo-en-v2.svg.png 1.5x, //​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​9/​99/​Wiktionary-logo-en-v2.svg/​80px-Wiktionary-logo-en-v2.svg.png 2x" data-file-width="​512"​ data-file-height="​512"/></​td>​
 +<td class="​mbox-text plainlist">​ Tra cứu <​i><​b>​ ratio </​b></​i> ​ trong Wiktionary tiếng Việt, từ điển miễn phí. </​td></​tr></​tbody></​table>​
 +
 +<​!-- ​
 +NewPP limit report
 +Parsed by mw1289
 +Cached time: 20181116044002
 +Cache expiry: 1900800
 +Dynamic content: false
 +CPU time usage: 0.392 seconds
 +Real time usage: 0.605 seconds
 +Preprocessor visited node count: 1060/​1000000
 +Preprocessor generated node count: 0/1500000
 +Post‐expand include size: 18696/​2097152 bytes
 +Template argument size: 1138/​2097152 bytes
 +Highest expansion depth: 11/40
 +Expensive parser function count: 2/500
 +Unstrip recursion depth: 0/20
 +Unstrip post‐expand size: 8684/​5000000 bytes
 +Number of Wikibase entities loaded: 0/400
 +Lua time usage: 0.214/​10.000 seconds
 +Lua memory usage: 10.83 MB/50 MB
 +-->
 +<!--
 +Transclusion expansion time report (%,​ms,​calls,​template)
 +100.00% ​ 445.008 ​     1 -total
 + ​36.32% ​ 161.638 ​     4 Template:​Lang
 + ​15.12% ​  ​67.274 ​     1 Template:​Cite_book
 + ​14.24% ​  ​63.375 ​     2 Template:Cn
 + ​12.46% ​  ​55.455 ​     2 Template:​Fix
 +  8.59%   ​38.242 ​     1 Template:​For
 +  7.44%   ​33.107 ​     4 Template:​Category_handler
 +  4.34%   ​19.301 ​     1 Template:​Fractions_and_ratios
 +  4.21%   ​18.738 ​     1 Template:​Reflist
 +  3.92%   ​17.429 ​     2 Template:​Delink
 +-->
 +
 +<!-- Saved in parser cache with key enwiki:​pcache:​idhash:​87837-0!canonical!math=5 and timestamp 20181116044002 and revision id 869063716
 + ​-->​
 +</​div></​pre>​
 + </​HTML> ​
t-l-wikipedia.txt · Last modified: 2018/11/17 09:54 (external edit)